Tangente alla circonferenza
Determinare nel piano euclideo la retta tangente alla circonferenza \(\displaystyle x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0 \) nel punto di intersezione col semiasse positivo delle \(\displaystyle x \) .
Vorrei sapere se il procedimento che ho usato è giusto. Per prima cosa mi trovo l'intersezione della circonferenza con l'asse delle \(\displaystyle x \) mettendo la variabile \(\displaystyle y \) uaguale a \(\displaystyle 0 \) mi risolvo l'equazione \(\displaystyle x^2 + 2x - 3 = 0 \) e prendo la \(\displaystyle x \) positiva, quindi avrò che il punto di tangenza sarà \(\displaystyle (1 , 0) \) , a questo punto mi calcolo il centro della circonferenza, che è dato dal punto \(\displaystyle (-1 , 1) \) per poter trovare il vettore direzione del raggio che unisce il punto \(\displaystyle (1,0) \) con il centro della circonferenza. ovvero il vettore \(\displaystyle (-2 , 1) \) , sapendo che la tangente è perpendicolare al raggio mi devo trovare un vettore perpendicolare a \(\displaystyle (-2 , 1) \) e lo trovo mettendo il prodotto scalare di questi 2 vettori \(\displaystyle (-2 , 1) \) \(\displaystyle (t_1 , t_2) \) uguale a \(\displaystyle 0 \) ottenendo \(\displaystyle t_1 = \frac {1} {2} \) e \(\displaystyle t_2 = 1 \) ,sapendo che una retta in forma parametrica si trova attraverso una direzione e un punto la mia tangente avrà equazione :\(\displaystyle r = (\frac {1} {2} , 1)h + (1,0) \) dove \(\displaystyle (1 , 0) \) è il punto di tangenza.
Vorrei sapere se il procedimento che ho usato è giusto. Per prima cosa mi trovo l'intersezione della circonferenza con l'asse delle \(\displaystyle x \) mettendo la variabile \(\displaystyle y \) uaguale a \(\displaystyle 0 \) mi risolvo l'equazione \(\displaystyle x^2 + 2x - 3 = 0 \) e prendo la \(\displaystyle x \) positiva, quindi avrò che il punto di tangenza sarà \(\displaystyle (1 , 0) \) , a questo punto mi calcolo il centro della circonferenza, che è dato dal punto \(\displaystyle (-1 , 1) \) per poter trovare il vettore direzione del raggio che unisce il punto \(\displaystyle (1,0) \) con il centro della circonferenza. ovvero il vettore \(\displaystyle (-2 , 1) \) , sapendo che la tangente è perpendicolare al raggio mi devo trovare un vettore perpendicolare a \(\displaystyle (-2 , 1) \) e lo trovo mettendo il prodotto scalare di questi 2 vettori \(\displaystyle (-2 , 1) \) \(\displaystyle (t_1 , t_2) \) uguale a \(\displaystyle 0 \) ottenendo \(\displaystyle t_1 = \frac {1} {2} \) e \(\displaystyle t_2 = 1 \) ,sapendo che una retta in forma parametrica si trova attraverso una direzione e un punto la mia tangente avrà equazione :\(\displaystyle r = (\frac {1} {2} , 1)h + (1,0) \) dove \(\displaystyle (1 , 0) \) è il punto di tangenza.
Risposte
Molto più semplicemente: la nostra retta tangente alla circonferenza (chiamiamola $r$) avrà equazione $y=m(x-1)$,
con $m in RR$ da determinare. Questo perchè $r$ passa per il punto $A(1,0)$.
Sia $C(-1,1)$ il centro della circonferenza. Certamente saprai che \(AC \quad \bot \quad r\).
Quindi, una volta determinata l'equazione $s: y= m'x +q'$ della retta passante per $A$ e per $C$,
il nostro $m$ sarà pari a $-1/(m')$
con $m in RR$ da determinare. Questo perchè $r$ passa per il punto $A(1,0)$.
Sia $C(-1,1)$ il centro della circonferenza. Certamente saprai che \(AC \quad \bot \quad r\).
Quindi, una volta determinata l'equazione $s: y= m'x +q'$ della retta passante per $A$ e per $C$,
il nostro $m$ sarà pari a $-1/(m')$
Grazie per la risposta...è un ottima alternativa..
C'è anche un'altra possibilità, un po' più famosa ma molto più "contosa":
Partendo sempre da $r: y=m(x-1)$, lo mettiamo a sistema con l'equazione della circonferenza, ottenendo
${(y=m(x-1)),(x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0):}$
La seconda equazione diventa $x^2 +m^2(x-1)^2 +2x+2m(x-1)-3=0$, che è una equazione parametrica di secondo grado.
Siccome ci deve essere una sola soluzione (essendo la retta tangente alla circonferenza), si impone $Delta=0$, che sarà una equazione nella sola incongnita $m$. Risolvendola otterremo il valore cercato
Partendo sempre da $r: y=m(x-1)$, lo mettiamo a sistema con l'equazione della circonferenza, ottenendo
${(y=m(x-1)),(x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0):}$
La seconda equazione diventa $x^2 +m^2(x-1)^2 +2x+2m(x-1)-3=0$, che è una equazione parametrica di secondo grado.
Siccome ci deve essere una sola soluzione (essendo la retta tangente alla circonferenza), si impone $Delta=0$, che sarà una equazione nella sola incongnita $m$. Risolvendola otterremo il valore cercato
in questo modo ho pensato di risolverlo la prima volta ma non ci sono riuscito a impostare l'equazione della retta tangente..e quindi ho scelto di risolverlo in forma vettoriale. quando ho visto il primo metodo che mi hai suggerito mi sono accorto che era abbastanza semplice trovarla..bastava pensare al fascio di rette..a dire il vero sceglierei il metodo della derivata cercando il fascio di rette..con il sistema ci si perde molto tempo, è più semplice concettualmente ma con il calcoli si va per le lunghe.
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