Tangente ad una Conica Help!
Ho un problema, non riesco a cavarne piede.
Data una conica devo determinare la retta tangente ad essa condotta da un punto A che appartiene alla conica. Facendo i dovuti ragionamenti è ovvio che il punto di tangenza è sicuramente A. Se la conica è un iperbole(il mio problema) come determino questa equazione della retta?
Mi viene da pensare che trovando l'equazione del fascio di rette avente centro A poi posso trovare l'unica equazione che ha un solo punto di contatto con l'iperbole...ma non riesco a capire come fare.
Data una conica devo determinare la retta tangente ad essa condotta da un punto A che appartiene alla conica. Facendo i dovuti ragionamenti è ovvio che il punto di tangenza è sicuramente A. Se la conica è un iperbole(il mio problema) come determino questa equazione della retta?
Mi viene da pensare che trovando l'equazione del fascio di rette avente centro A poi posso trovare l'unica equazione che ha un solo punto di contatto con l'iperbole...ma non riesco a capire come fare.
Risposte
la tangente è anche la polare ed ha coordinate plueckeriane A^t C ove A è il punto e C la matrice della conica
quindi devo ragionare nel piano ampliato? mi sento terribilmente ignorante
"orphen86":
Ho un problema, non riesco a cavarne piede.
Data una conica devo determinare la retta tangente ad essa condotta da un punto A che appartiene alla conica. Facendo i dovuti ragionamenti è ovvio che il punto di tangenza è sicuramente A. Se la conica è un iperbole(il mio problema) come determino questa equazione della retta?
Mi viene da pensare che trovando l'equazione del fascio di rette avente centro A poi posso trovare l'unica equazione che ha un solo punto di contatto con l'iperbole...ma non riesco a capire come fare.
Un metodo che puoi seguire è il seguente:
se hai l'equazione in forma implicita
$f(x,y)=0$
puoi prendere in considerazione la traslazione che porta il punto $A$ in $O$.
A questo punto, avrai ottenuto l'equazione
$h(x,y)=0$
la retta tangente è la parte lineare dell'equazione, cioè $ax+by=0$.
A questo punto devi traslare $O$ in $A$:
$a(x-x_A) + b(y-y_A)=0$
Qual è l'equazione della tua iperbole?
l'equazione dell'iperbole è x^2+4xy-2y^2-2x+4y+1=0
come posso scrivere linguaggio matematico come fate voi? è molto piu leggibile
come posso scrivere linguaggio matematico come fate voi? è molto piu leggibile
"orphen86":
l'equazione dell'iperbole è x^2+4xy-2y^2-2x+4y+1=0
come posso scrivere linguaggio matematico come fate voi? è molto piu leggibile
Basta scrivere trai dollari. Prova.
Manca il punto A!
Ciao,
per scrivere correttamente basta:
mettere le formule tra i simboli "dollaro", per gli apici scrivere ^(apice) per i pendici
scrivere _(pendice) ad esempio per scrivere $x^(2)$ bisogna scrivere tra i simboli "dollaro" x^(2)
per scrivere correttamente basta:
mettere le formule tra i simboli "dollaro", per gli apici scrivere ^(apice) per i pendici
scrivere _(pendice) ad esempio per scrivere $x^(2)$ bisogna scrivere tra i simboli "dollaro" x^(2)
più semplicemente:
1) verifichi direttamente se la retta è verticale: $x=x_A$. se lo è, hai finito, altrimenti
2) usi il fascio proprio (come volevi fare) in funzione del coefficiente angolare m: $y=mx-mx_A+y_A$. messo a sistema con l'equazione della conica, basta porre la condizione $Delta=0$. se A appartiene all'iperbole, dovresti ricavarti una soluzione doppia per m.
ciao.
1) verifichi direttamente se la retta è verticale: $x=x_A$. se lo è, hai finito, altrimenti
2) usi il fascio proprio (come volevi fare) in funzione del coefficiente angolare m: $y=mx-mx_A+y_A$. messo a sistema con l'equazione della conica, basta porre la condizione $Delta=0$. se A appartiene all'iperbole, dovresti ricavarti una soluzione doppia per m.
ciao.
quanto al tuo problema.....potresti usare la formula del Dini per calcolare la derivata prima di funzioni esplicite, una volta trovata la derivata prima nel punto A, hai in mano il coefficiente angolare della tg, a quel punto il gioco è fatto, basta scrivere l'equazione della retta passante per $A$ che abbia il coefficiente angolare trovato.
il teorema del Dini per calcolare la derivata di una funzione implicita dice:
$f'(x0) = - ((df)/(dx)/(df)/(dy))$
poi scriverai $(y-y0)= f'(x0)*(x-x0)$ dove $x0$ e $y0$ sono le coordinate del punto $A$
il teorema del Dini per calcolare la derivata di una funzione implicita dice:
$f'(x0) = - ((df)/(dx)/(df)/(dy))$
poi scriverai $(y-y0)= f'(x0)*(x-x0)$ dove $x0$ e $y0$ sono le coordinate del punto $A$
"Alexp":
Ciao,
per scrivere correttamente basta:
mettere le formule tra i simboli "dollaro", per gli apici scrivere ^(apice) per i pendici
scrivere _(pendice) ad esempio per scrivere $x^(2)$ bisogna scrivere tra i simboli "dollaro" x^(2)
Le parentesi non servono.
"adaBTTLS":
più semplicemente:
1) verifichi direttamente se la retta è verticale: $x=x_A$. se lo è, hai finito, altrimenti
2) usi il fascio proprio (come volevi fare) in funzione del coefficiente angolare m: $y=mx-mx_A+y_A$. messo a sistema con l'equazione della conica, basta porre la condizione $Delta=0$. se A appartiene all'iperbole, dovresti ricavarti una soluzione doppia per m.
ciao.
Ma il mio procedimento non piace a nessuno?
"franced":
[quote="orphen86"]l'equazione dell'iperbole è x^2+4xy-2y^2-2x+4y+1=0
come posso scrivere linguaggio matematico come fate voi? è molto piu leggibile
Basta scrivere trai dollari. Prova.
Manca il punto A![/quote]
ups già il punto A(1,4)
ok, sto iniziando a confondermi con tutte queste soluzioni...
ripensando al piano ampliato, se considero che la polare in A è la retta tangente alla conica se A appartiente all'iperbole, questo vuol dire che mi basta trovare la polare, che se non ho capito male trovo attraverso $X^tMA=0$
Utilizzando il th del Dini $f'(x0) = - ((df)/(dx)/(df)/(dy))$
risulta $-((2x+4y-2)/(4x-4y+4))$ sostituendo nel punto $A(1;4)$ ottengo $-(16/-8)=2$
ora la retta sarà $(y-4)=2(x-1)$ ossia $y=2x+2$
si può fare una controprova.....cioè sostiture l'equazione della retta nell'equazione dell'iperbole in modo da ottenere $x^2 + 4x(2x+2) -2(2x+2)^2 -2x + 4(2x+2)=0$, ossia $x^2-2x+1=0$
ora sostituendo al posto della $x$ il valore della coordinata $x=1$ verifico l'uguaglianza a zero, questo significa che la retta e l'iperbole si toccano in $A$, per avere anche la certezza che sia tangente, occorre verificare che il contatto sia almeno del primo ordine.....per far questo faccio la derivata prima dell'equazione $x^2-2x+1=0$ che risulta $2x-2=0$, nella quale sostituendo sempre la coordinata $x=1$ ottengo $2-2=0$ che verifica l'uguaglianza, quindi la retta trovata è tangente
Ciao
risulta $-((2x+4y-2)/(4x-4y+4))$ sostituendo nel punto $A(1;4)$ ottengo $-(16/-8)=2$
ora la retta sarà $(y-4)=2(x-1)$ ossia $y=2x+2$
si può fare una controprova.....cioè sostiture l'equazione della retta nell'equazione dell'iperbole in modo da ottenere $x^2 + 4x(2x+2) -2(2x+2)^2 -2x + 4(2x+2)=0$, ossia $x^2-2x+1=0$
ora sostituendo al posto della $x$ il valore della coordinata $x=1$ verifico l'uguaglianza a zero, questo significa che la retta e l'iperbole si toccano in $A$, per avere anche la certezza che sia tangente, occorre verificare che il contatto sia almeno del primo ordine.....per far questo faccio la derivata prima dell'equazione $x^2-2x+1=0$ che risulta $2x-2=0$, nella quale sostituendo sempre la coordinata $x=1$ ottengo $2-2=0$ che verifica l'uguaglianza, quindi la retta trovata è tangente
Ciao
"Alexp":
Utilizzando il th del Dini $f'(x0) = - ((df)/(dx)/(df)/(dy))$
risulta $-((2x+4y-2)/(4x-4y+4))$ sostituendo nel punto $A(1;4)$ ottengo $-(16/-8)=2$
ora la retta sarà $(y-4)=2(x-1)$ ossia $y=2x+2$
si può fare una controprova.....cioè sostiture l'equazione della retta nell'equazione dell'iperbole in modo da ottenere $x^2 + 4x(2x+2) -2(2x+2)^2 -2x + 4(2x+2)=0$, ossia $x^2-2x+1=0$
ora sostituendo al posto della $x$ il valore della coordinata $x=1$ verifico l'uguaglianza a zero, questo significa che la retta e l'iperbole si toccano in $A$, per avere anche la certezza che sia tangente, occorre verificare che il contatto sia almeno del primo ordine.....per far questo faccio la derivata prima dell'equazione $x^2-2x+1=0$ che risulta $2x-2=0$, nella quale sostituendo sempre la coordinata $x=1$ ottengo $2-2=0$ che verifica l'uguaglianza, quindi la retta trovata è tangente
Ciao
Effettivamente è un modo abbastanza semplice, purtroppo essendo un esercizio dell'esame di geometria,non avendo visto il teorema di Dini, preferisco utilizzare la definizione di polare visto che è una parte del programma svolto. Ho verificato attraverso la polare e l'equazione della retta è proprio $y=2x+2$. Grazie comunque per l'aiuto =D
"Alexp":
Utilizzando il th del Dini $f'(x0) = - ((df)/(dx)/(df)/(dy))$
Non è necessario scomodare il teorema del Dini.
Questo è un problema da terza liceo..
L'equazione dell'iperbole è
$x^2+4xy-2y^2-2x+4y+1=0$
il punto della curva è $A=(1;4)$.
Consideriamo la traslazione:
$x' = x - 1$
$y' = y - 4$
l'equazione risulta:
$(x'+1)^2+4(x'+1)(y'+4)-2(y'+4)^2-2(x'+1)+4(y'+4)+1=0$
sviluppando troviamo:
$x'^2 + 4x'y' - 2y'^2 + 16x' - 8y' = 0$
l'equazione della retta tangente nell'origine è
$16x' - 8y' = 0$ ovvero $y' = 2 x'$
sostituendo $x$ e $y$ troviamo:
$y - 4 = 2 (x - 1)$
cioè
$y = 2x + 2$.
Questo metodo vale per tutte le coniche, non solo per questa iperbole.
$x^2+4xy-2y^2-2x+4y+1=0$
il punto della curva è $A=(1;4)$.
Consideriamo la traslazione:
$x' = x - 1$
$y' = y - 4$
l'equazione risulta:
$(x'+1)^2+4(x'+1)(y'+4)-2(y'+4)^2-2(x'+1)+4(y'+4)+1=0$
sviluppando troviamo:
$x'^2 + 4x'y' - 2y'^2 + 16x' - 8y' = 0$
l'equazione della retta tangente nell'origine è
$16x' - 8y' = 0$ ovvero $y' = 2 x'$
sostituendo $x$ e $y$ troviamo:
$y - 4 = 2 (x - 1)$
cioè
$y = 2x + 2$.
Questo metodo vale per tutte le coniche, non solo per questa iperbole.
"franced":
sviluppando troviamo:
$x'^2 + 4x'y' - 2y'^2 + 16x' - 8y' = 0$
l'equazione della retta tangente nell'origine è
$16x' - 8y' = 0$ ovvero $y' = 2 x'$
avrei una domanda, come fai a affermare che $16x' - 8y' = 0$ è la retta tangente nell'origine? non riesco a capire questo passaggio...
"orphen86":
[quote="franced"]
sviluppando troviamo:
$x'^2 + 4x'y' - 2y'^2 + 16x' - 8y' = 0$
l'equazione della retta tangente nell'origine è
$16x' - 8y' = 0$ ovvero $y' = 2 x'$
avrei una domanda, come fai a affermare che $16x' - 8y' = 0$ è la retta tangente nell'origine? non riesco a capire questo passaggio...
[/quote]Quando hai una conica che passa per l'origine, cioè del tipo:
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=0$
la retta tangente nell'origine è semplicemente
$dx+ey=0$.
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