Tangente a circonferenza
Salve avrei un problema con un esercizio di geometria :
Fissato un riferimento cartesiano di uno spazio euclideo E di dimensione 2, si considerino il punto $P=(-1,-1)$ e la retta r tangente la circonferenza $C: x^2 + y^2 - 2x - 2y =0$ nel punto $(2,2)$.
Vorrei sapere se l'affermazione " la retta per P ortogonale ad r contiene il centro C " è corretta e perchè
Ho iniziato trovando il fascio di rette passante per $(2,2)$ ma per trovare la tangente alla circonferenza cosa impongo?
Fissato un riferimento cartesiano di uno spazio euclideo E di dimensione 2, si considerino il punto $P=(-1,-1)$ e la retta r tangente la circonferenza $C: x^2 + y^2 - 2x - 2y =0$ nel punto $(2,2)$.
Vorrei sapere se l'affermazione " la retta per P ortogonale ad r contiene il centro C " è corretta e perchè
Ho iniziato trovando il fascio di rette passante per $(2,2)$ ma per trovare la tangente alla circonferenza cosa impongo?
Risposte
L'intersezione tra la circonferenza e la generica retta del fascio deve avere una sola soluzione.
quindi dovrei mettere a sistema l'equazione della circoferenza con $a(x-2)+b(y-2)=0$ e trovo la soluzione?
Sì: ma al fine di trovarne solo una (osserva che il sistema è di secondo grado, quindi a priori ce ne possono essere due) andrà imposta una condizione che ti permette di determinare il coefficiente angolare corretto.
il coefficiente angolare sarebbe a? poi non capisco quale condizione imporre
Ma tu un po' di teoria relativa a queste cose l'hai studiata? No, perché se non sai cosa è il coefficiente angolare di una retta, stiamo freschi.
si è la pendenza rispetto all'asse x, però non ho capito uguale a cosa devo imporlo
Hai provato a risolvere? Come hai fatto? Cosa viene fuori per le soluzioni? In che modo le due soluzioni (presumibili) che vengono fuori possono essere uguali? Se non ti sporchi un po' le mani e non fai vedere qualche conto come facciamo? Te lo devo risolvere io?
se gentilmente me lo puoi fare tu mi faresti un grande favore, anche se mi indichi solo i passaggi da fare
Comincia con mettere a sistema le due equazioni (circonferenza e fascio di rette) e prova a risolvere rispetto a $x,y$. Visto che, sicuramente, cercherai di sostituire per esempio la $y$ trovata dall'equazione della retta, nella circonferenza (osserva che puoi scriverla come $(x-1)^2+(y-1)^2=2$) ricaverai una equazione nella sola $x$ (di secondo grado) dipendente dai parametri $a,b$, Ora, in che caso una equazione di secondo grado ha solo una soluzione?
l'equazione è un po' lunga... ma ho trovato che il coefficiente della $x^2$ è $1+a^2/b^2$ lo pongo uguale a 0 è trovo che $a^2=-b^2$...
sto procedendo correttamente?
sto procedendo correttamente?
No. Una equazione di secondo grado ha una sola soluzione quando il discriminante è pari a zero, non quando il primo coefficiente si annulla, altrimenti non è più una equazione di secondo grado.
in questa maniere viene una cosa molto lunga.... $a/b$ lo posso scrivere come m cioè coefficiente angolare???
Dunque, vedo di darti una idea di risoluzione: però ti avviso che a mio parere, hai bisogno di ristudiare un buon numero di cose.
Partiamo dall'equazione della circonferenza che puoi scrivere come $(x-1)^2+(y-1)^2=2$: questo ti dice che il suo centro è $C(1,1)$ e il raggio è $\sqrt{2}$. Ora, la retta perpendicolare alla tangente alla circonferenza nel punto $Q(2,2)$ deve passare per il centro della circonferenza (perché?): tale retta allora ha equazione
$$\frac{y-2}{2-1}=\frac{x-2}{2-1}\ \Rightarrow\ y=x$$
Ne segue che il punto $P(-1,-1)$ appartiene alla retta.
Partiamo dall'equazione della circonferenza che puoi scrivere come $(x-1)^2+(y-1)^2=2$: questo ti dice che il suo centro è $C(1,1)$ e il raggio è $\sqrt{2}$. Ora, la retta perpendicolare alla tangente alla circonferenza nel punto $Q(2,2)$ deve passare per il centro della circonferenza (perché?): tale retta allora ha equazione
$$\frac{y-2}{2-1}=\frac{x-2}{2-1}\ \Rightarrow\ y=x$$
Ne segue che il punto $P(-1,-1)$ appartiene alla retta.
chiarissimo grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo