Svolgimento esercizio sulle coniche
Sia la conica $4x^2 + 2\sqrt{2} xy + 3y^2 - 1 = 0$
Siccome non sono presenti i termin lineari posso dire che il centro di simmetria è $C (0,0)$? domanda banale, ma quando la riduco a forma canonica metrica attraverso una rotazione, come in questo caso, il centro di simmetria cambia cordinate? e quando trasla?
Allora possiamo dire dalla $((4,\sqrt{2},0),(\sqrt{3},3,0),(0,0,-1))$ che il rango è 3 e quindi la conica è non degenere. Invece
dal determinante della sottomatrice $((4,\sqrt{2}),(\sqrt{3},3))$che è $> 0$ si può dire che la conica è un ellisse.
Cercando gli autovalori della matrice $2xx2$ che sono $lambda_1= 2$ e $lambda_2=5$ ho scoperto che le basi degli
autospazi relativi a questi autovettori sono $E(2) = ((-\sqrt{2})/2, 1)$ ed $E(5) = (\sqrt{2},1)$ prima di trovare la matrice
$P$ di rotazione che ci interessa dobbiamo divide i due vettori per la loro norma, quindi:
$((-1/\sqrt{3},\sqrt{2/3}),(\sqrt{2/3},1/\sqrt{3}))$ tuttavia siccome il determinante deve essere pari ad 1 cambio segno in
modo tale che lo sia:
$P = ((1/\sqrt{3},- \sqrt{2/3}),(\sqrt{2/3},1/\sqrt{3}))$
Quindi possiamo dire che $((x),(y)) = P ((x'),(y'))$ e sostituendo il tutto nel'equazione dovrebbe elidersi il termine $xy$ giusto?
Siccome non sono presenti i termin lineari posso dire che il centro di simmetria è $C (0,0)$? domanda banale, ma quando la riduco a forma canonica metrica attraverso una rotazione, come in questo caso, il centro di simmetria cambia cordinate? e quando trasla?
Allora possiamo dire dalla $((4,\sqrt{2},0),(\sqrt{3},3,0),(0,0,-1))$ che il rango è 3 e quindi la conica è non degenere. Invece
dal determinante della sottomatrice $((4,\sqrt{2}),(\sqrt{3},3))$che è $> 0$ si può dire che la conica è un ellisse.
Cercando gli autovalori della matrice $2xx2$ che sono $lambda_1= 2$ e $lambda_2=5$ ho scoperto che le basi degli
autospazi relativi a questi autovettori sono $E(2) = ((-\sqrt{2})/2, 1)$ ed $E(5) = (\sqrt{2},1)$ prima di trovare la matrice
$P$ di rotazione che ci interessa dobbiamo divide i due vettori per la loro norma, quindi:
$((-1/\sqrt{3},\sqrt{2/3}),(\sqrt{2/3},1/\sqrt{3}))$ tuttavia siccome il determinante deve essere pari ad 1 cambio segno in
modo tale che lo sia:
$P = ((1/\sqrt{3},- \sqrt{2/3}),(\sqrt{2/3},1/\sqrt{3}))$
Quindi possiamo dire che $((x),(y)) = P ((x'),(y'))$ e sostituendo il tutto nel'equazione dovrebbe elidersi il termine $xy$ giusto?
Risposte
Fantastico Samug.
"Quinzio":
Fantastico Samug.
Grazie Quinzio
Gli assi invece sarebbero delle rette passanti per C(0,0) parallele alle basi degli autospazi prima trovati?
Si, ellisse, quindi conica a centro, trovi il centro mettendo il $\grad f =\bb0$
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