Svolgimento esercizio numero 1 prova dì Esame
salve ragazzi
Avrei deciso di risolvere dei vecchi compiti della mia professoressa, e mi piacerebbe che voi possiate confermare o smentire qualsiasi cosa vogliate nello svolgimento, così posso avere la certezza di averli svolti per bene.
Allo stesso tempo credo saranno di piccolo aiuto ad altri che dovranno svolgere l'esame di algebra.
inizierei con un piccolo esercizio sugli endomorfismi:ù
Sia\(\displaystyle f_t:R^3-->R^3 \) un'applicazione lineare così definita:
\(\displaystyle f_t(x,y,z)=((t+1)x+2y+3z,5y,x+2y+(t-1)z) \)
1) scrivere la matrice \(\displaystyle A(f_t) \), associata a \(\displaystyle f_t \)
Svolgimento: $ ( ( t+1 , 2 , 3 ),( 0 , 5 , 0 ),( 1 , 2 , t-1 ) ) $
2)Determinare i valori di t per cui\(\displaystyle f_t \) è un isomorfismo
Svolgimento: l' applicazione deve essere iniettiva e suriettiva, cioè deve essere rispettivamente \(\displaystyle dim ker(f_t )=0\) e \(\displaystyle dim Im(f_t)=dim R^3 \)
Inoltre ricordano il teorema di nullità più rango basta imporre solo una delle due condizioni.
Scrivo la matrice associata all'' equazione del nucleo e impongo che il rango sia 3
$ ( ( t+1 , 2 , 3 ),( 0 , 5 , 0 ),( 1 , 2 , t-1 ) ) $ il cui determinante assume valori diverso da zero solo se t=-+4
Quindi per t diverso da tali valori l'applicazione è un isomorfismo
3)Determinare nel caso in cui t=5, \(\displaystyle f^-1_5 \)
In questo caso basta trovare la matrice inversa che definisce l'applicazione, calcolo l'inversa con gauss ricavando una matrice:
$ ( ( 4/21,-2/105 ,-1/7 ),(0 , 1/5 ,0 ),(-1/21 ,-2/21 ,2/7 ) ) $
4)Studiare la diagonalizzabilità di\(\displaystyle f_t \) al variare di t
Svolgimento: Calcolo gli autovalori risolvendo il polinomio caratteristico della matrice
$ | ( t+1-lambda , 2 , 3 ),( 0 , 5-lambda , 0 ),( 1 , 2 , t-1-lambda ) | $
da cui $ lambda_1=5; lambda_2=t-2;lambda_3=t+2 $
Abbiamo che $ lambda_1=lambda_2 <- > t=7 $ e $ lambda_1=lambda_3 < - >t=3 $
Quindi se t è diversa da 7 e 3 f_t è sicuramente diagonalizzabile, in quanto molteciplità algebriche e geometriche coincidono per ogni autovalore.
Se t=7 o 3 non è diagonalizzabile in quanto in questo caso ho verificato che la molteciplità algebrica è per entrambi valori minore di quella algebrica nel caso del' autovalore molteplice.
5) Nel caso in cui t=0 determinare autovalori, autospazi e se possibile diagonalizzare f_0
Svolgimento: è sicuramente diagonalizzabile per quanto detto prima. Gli autovalori sono: $ lambda_1=5;lambda_2=-2; lambda_3=7 $
una base dell' autospazio generato da $ lambda_1=5 $ è $ B(lambda_1)={(1,7/6,5/9)} $
un base dell'autospazio generato dal secondo autovalore $ B(lambda_2)={(-1,0,1)} $
una base dell'autospazio generato dal terzo autovalore è $ B(lambda_3)={(3,0,1)} $
una base spettrale è allora: $ B={(1,7/6,5/9),(-1,0,1),(3,0,1)} $
la matrice diagonalizzata sarà allora
$ D=( ( 5 , 0 , 0 ),( 0 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Avrei deciso di risolvere dei vecchi compiti della mia professoressa, e mi piacerebbe che voi possiate confermare o smentire qualsiasi cosa vogliate nello svolgimento, così posso avere la certezza di averli svolti per bene.
Allo stesso tempo credo saranno di piccolo aiuto ad altri che dovranno svolgere l'esame di algebra.
inizierei con un piccolo esercizio sugli endomorfismi:ù
Sia\(\displaystyle f_t:R^3-->R^3 \) un'applicazione lineare così definita:
\(\displaystyle f_t(x,y,z)=((t+1)x+2y+3z,5y,x+2y+(t-1)z) \)
1) scrivere la matrice \(\displaystyle A(f_t) \), associata a \(\displaystyle f_t \)
Svolgimento: $ ( ( t+1 , 2 , 3 ),( 0 , 5 , 0 ),( 1 , 2 , t-1 ) ) $
2)Determinare i valori di t per cui\(\displaystyle f_t \) è un isomorfismo
Svolgimento: l' applicazione deve essere iniettiva e suriettiva, cioè deve essere rispettivamente \(\displaystyle dim ker(f_t )=0\) e \(\displaystyle dim Im(f_t)=dim R^3 \)
Inoltre ricordano il teorema di nullità più rango basta imporre solo una delle due condizioni.
Scrivo la matrice associata all'' equazione del nucleo e impongo che il rango sia 3
$ ( ( t+1 , 2 , 3 ),( 0 , 5 , 0 ),( 1 , 2 , t-1 ) ) $ il cui determinante assume valori diverso da zero solo se t=-+4
Quindi per t diverso da tali valori l'applicazione è un isomorfismo
3)Determinare nel caso in cui t=5, \(\displaystyle f^-1_5 \)
In questo caso basta trovare la matrice inversa che definisce l'applicazione, calcolo l'inversa con gauss ricavando una matrice:
$ ( ( 4/21,-2/105 ,-1/7 ),(0 , 1/5 ,0 ),(-1/21 ,-2/21 ,2/7 ) ) $
4)Studiare la diagonalizzabilità di\(\displaystyle f_t \) al variare di t
Svolgimento: Calcolo gli autovalori risolvendo il polinomio caratteristico della matrice
$ | ( t+1-lambda , 2 , 3 ),( 0 , 5-lambda , 0 ),( 1 , 2 , t-1-lambda ) | $
da cui $ lambda_1=5; lambda_2=t-2;lambda_3=t+2 $
Abbiamo che $ lambda_1=lambda_2 <- > t=7 $ e $ lambda_1=lambda_3 < - >t=3 $
Quindi se t è diversa da 7 e 3 f_t è sicuramente diagonalizzabile, in quanto molteciplità algebriche e geometriche coincidono per ogni autovalore.
Se t=7 o 3 non è diagonalizzabile in quanto in questo caso ho verificato che la molteciplità algebrica è per entrambi valori minore di quella algebrica nel caso del' autovalore molteplice.
5) Nel caso in cui t=0 determinare autovalori, autospazi e se possibile diagonalizzare f_0
Svolgimento: è sicuramente diagonalizzabile per quanto detto prima. Gli autovalori sono: $ lambda_1=5;lambda_2=-2; lambda_3=7 $
una base dell' autospazio generato da $ lambda_1=5 $ è $ B(lambda_1)={(1,7/6,5/9)} $
un base dell'autospazio generato dal secondo autovalore $ B(lambda_2)={(-1,0,1)} $
una base dell'autospazio generato dal terzo autovalore è $ B(lambda_3)={(3,0,1)} $
una base spettrale è allora: $ B={(1,7/6,5/9),(-1,0,1),(3,0,1)} $
la matrice diagonalizzata sarà allora
$ D=( ( 5 , 0 , 0 ),( 0 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Risposte
up
Ragazzi mi piacerebbe se mi confermaste anche solo il ragionamento
Ragazzi mi piacerebbe se mi confermaste anche solo il ragionamento
Ci spero ancora 
Grazie
Grazie
Anche questi li rimango perchè essendo esercizi base potrebbero fare comodo a qualche studente
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