Svolgimento endomorfismo

[Ghigo1]

ciao a tutti,
in un esame avevo questo esercizio:

sia A= $ ( ( 0, 0 , -1 ),( 1, 1 , 2 ),( 2 , 2 , 3 ) ) $ e sia f un End(R(3)) definito da f(X) := AXA
a) calcola det f e rank f;
b) determinare autovalori e autovettori di f e discuterne la diagonalizzabilità.

io l'ho svolto secondo il metodo che trovate n questo topic: diagonalizzabilita-t87788.html considerando
X=$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$ e mi venivano i seguenti valori:

det f = 0
rank f = 4
autovalori ed autovettori di f:
$ \lambda $1 = 0 --> il cui spettro di 0 è: $[ ((a,0,0),(0,0,0),(0,0,0)),((0,b,0),(0,0,0),(0,0,0)),((0,0,c),(0,0,0),(0,0,0)),((0,0,0),(d,0,0),(0,0,0)),((a,0,0),(0,0,0),(g,0,0)), ]$
$ \lambda $2 = 1 --> il cui spettro di 1 è: $[ ((0,0,0),(0,0,f),(0,0,0)),((0,0,0),(0,0,0),(0,h,0)), ]$
$ \lambda $3 = 7+4 √3 --> il cui spettro di 7+4 √3 è: $[ ((0,0,0),(0,e,0),(0,0,0)), ]$
$ \lambda $4 = 7-4 √3 --> il cui spettro di 7+4 √3 è: $[ ((0,0,0),(0,0,0),(0,0,i)), ]$
e quindi l'applicazione è diagonalizzabile

Ma mi ha dato errore, dicendo che bastava calcolare det A, rank A, autovalori e autovettori di A considerando solo la matrice A e basta. come mai???

[minomic]

Ciao, il determinante è giusto ma il rango proprio no!
Riguarda la definizione di rango... quello di questa matrice è $2$.
Per la diagonalizzazione trovi gli autovalori come radici del polinomio caratteristico e calcoli le loro molteplicità algebriche e geometriche, poi (se sono regolari) trovi gli autovettori/autospazi, li affianchi, trovi una matrice $P$ tale che$$P^{-1}AP$$è diagonale.

[Ghigo1]

ciao minomic, grazie delle precisazioni.
se calcolo il rango, gli autovalori e gli autovettori solo di A siamo d'accordo.
ma come devo fare per calcolare f(X)=AXA ?? se lo svolgo viene una matrice abnorme

non è giusto il procedimento che ho trovato?? mi potresti eseguire i calcoli in toto??

[Ghigo1]

issa

[minomic]

In effetti la cosa non torna molto... Ma sei sicuro che fosse $AXA$ e non solo $AX$ ?

[Ghigo1]

no no è proprio così f=AXA
io non so da che parte rifarmi sinceramente!!!

comunque anche tu se non ho campito male calcoleresti autovalori e autovettoiri solo della matrice A????