Svariati piccoli dubbi sul procedimento di alcuni esercizi
Salve a tutti, mi chiamo Federico e sto studiando da alcuni mesi l'algebra lineare e geometria nello spazio. Purtroppo mi sono accorto, al momento di passare alla pratica, che rispetto alla teoria è tutta un'altra storia. Probabilmente non è solo colpa mia (spero) ma anche della totale assenza di esempi numerici del mio libro. Quasi mi vergogno a chiedere certe cose ma ahimè anche se per svariate cose ho trovato soluzione, per altre ho provato a cercare ovunque senza trovare niente di abbastanza pratico.. ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ho anche studiato numerose parti dalle "dispense" degli appunti di questo stesso sito, e seguito l'alegebra lineare "for dummies" (tral'altro veramente molto ben fatta), e devo dire che il più delle cose le ho capite proprio grazie ai vostri post sulla risoluzione di quesiti fatte da altri utenti.
Proprio per questo tento di approfittare della vostra gentilezza scrivendo qui alcuni miei dubbi, considerando che la teoria la conosco, mi servirebbero degli esempi numerici anche stupidissimi
1) Come si ottengono le basi canoniche di uno spazio vettoriale o di una matrice?
Quello che so io è che una base di una matrice sono le stesse righe linearmente indipendenti, quelle cioè che non contengono "informazioni" inutili o già contenute in altre righe (come ad esempio due righe uguali o righe nulle)
Se invece la matrice è parametrica, basta trovare i valori del parametro che non annullano il determinante, quindi trovare il determinante e sostituire alla matrice un valore del parametro che non annulla il determinante. I vettori della matrice costituiranno una base della matrice stessa.
2) Cosa si intende ad esempio per $R2[x]$ ? Non capisco per cosa stia quell'$[x]$..
Qui non so proprio cosa dire.. non so neanche da dove partire perchè non capisco cosa intende la definizione
3) Prendendo ad esempio l'esercizio:
Sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base canonica è $((1,h-2,0,1),(h-3,2,h-2,3),(1,h,1,4h-8),(h-4,6-h,h-1,4h-7))$ con h parametro reale.
- Studiare $f$ determinando al variare di $h$ il $Kerf$ e l'$imf$
Non capisco come andare avanti perchè non capisco il concetto di $Kerf$ ed $imf$, pur sapendo che il $Ker$ di una matrice si trova prendendo il sistema omogeneo della stessa e porlo $=0$ e l'immagine di una matrice sia facilissima da fare, ad esempio l'immagine di una matrice in $RR^(3,3)$ dovrebbe essere $((1,1,1),(0,1,0),(0,0,1))$
Quello che ho provato a fare è trovare il determinante con tanto di valore parametrico usando il teorema di Laplace, così da trovare i valori di $h$ che lo annullano, e sostituendo un valore che non lo annulla alla matrice "credo" di aver ottenuto una base. La cosa che non capisco è che mi chiede di studiare $f$, non la matrice stessa.
5) Cos'è in pratica il concetto di $L$ ? Mi viene ad esempio data la matrice in $RR^(2,2) A=((2,1),(0,1))$ e chiesta la diagonalizzazione, che riesco a fare. Poi però mi viene chiesta la dimensione di $L(S)$ nel caso in cui $S={X in RR^(2,2)|X^2=A^2}$
Per eseguire la diagonalizzazione ho prima trovato il polinomio caratteristico, facendo la sottrazione tra la matrice e $x$ per la sua immagine e trovandone il determinante.
$det ((2,1),(0,1)) - x ((1,0),(0,1)) = ((2-x,1),(0,1-x)) = (2-x)(1-x)$
Quindi so che i suoi due autovalori sono $\lambda_1=2$ e $\lambda_1=1$
So anche che essendo gli autovalori 2 distinti, la loro molteplicità è uguale a 1, quindi è diagonalizzabile, e se non erro dovrebbe essere semplicemente $((2,0),(0,1))$
6) (e dopo non rompo più, spero) Come trovo autovalori ed autovettori di una matrice? So che si può diagonalizzare la matrice e la diagonale sarà composta dagli autovettori, ma non so se ci sono metodi alternativi..
- Risposta auto-trovata, il concetto di radice corrisponde con quello di autovalori, la risposta la sapevo già e non sapevo di saperla
PS: mi scuso per eventuali errori ortografici o varie oscenità matematiche, ho cercato di fare più attenzione possibile
Grazie in anticipo a chi proverà ad aiutarmi in qualsiasi modo
Ho anche studiato numerose parti dalle "dispense" degli appunti di questo stesso sito, e seguito l'alegebra lineare "for dummies" (tral'altro veramente molto ben fatta), e devo dire che il più delle cose le ho capite proprio grazie ai vostri post sulla risoluzione di quesiti fatte da altri utenti.
Proprio per questo tento di approfittare della vostra gentilezza scrivendo qui alcuni miei dubbi, considerando che la teoria la conosco, mi servirebbero degli esempi numerici anche stupidissimi
1) Come si ottengono le basi canoniche di uno spazio vettoriale o di una matrice?
Quello che so io è che una base di una matrice sono le stesse righe linearmente indipendenti, quelle cioè che non contengono "informazioni" inutili o già contenute in altre righe (come ad esempio due righe uguali o righe nulle)
Se invece la matrice è parametrica, basta trovare i valori del parametro che non annullano il determinante, quindi trovare il determinante e sostituire alla matrice un valore del parametro che non annulla il determinante. I vettori della matrice costituiranno una base della matrice stessa.
2) Cosa si intende ad esempio per $R2[x]$ ? Non capisco per cosa stia quell'$[x]$..
Qui non so proprio cosa dire.. non so neanche da dove partire perchè non capisco cosa intende la definizione
3) Prendendo ad esempio l'esercizio:
Sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base canonica è $((1,h-2,0,1),(h-3,2,h-2,3),(1,h,1,4h-8),(h-4,6-h,h-1,4h-7))$ con h parametro reale.
- Studiare $f$ determinando al variare di $h$ il $Kerf$ e l'$imf$
Non capisco come andare avanti perchè non capisco il concetto di $Kerf$ ed $imf$, pur sapendo che il $Ker$ di una matrice si trova prendendo il sistema omogeneo della stessa e porlo $=0$ e l'immagine di una matrice sia facilissima da fare, ad esempio l'immagine di una matrice in $RR^(3,3)$ dovrebbe essere $((1,1,1),(0,1,0),(0,0,1))$
Quello che ho provato a fare è trovare il determinante con tanto di valore parametrico usando il teorema di Laplace, così da trovare i valori di $h$ che lo annullano, e sostituendo un valore che non lo annulla alla matrice "credo" di aver ottenuto una base. La cosa che non capisco è che mi chiede di studiare $f$, non la matrice stessa.
5) Cos'è in pratica il concetto di $L$ ? Mi viene ad esempio data la matrice in $RR^(2,2) A=((2,1),(0,1))$ e chiesta la diagonalizzazione, che riesco a fare. Poi però mi viene chiesta la dimensione di $L(S)$ nel caso in cui $S={X in RR^(2,2)|X^2=A^2}$
Per eseguire la diagonalizzazione ho prima trovato il polinomio caratteristico, facendo la sottrazione tra la matrice e $x$ per la sua immagine e trovandone il determinante.
$det ((2,1),(0,1)) - x ((1,0),(0,1)) = ((2-x,1),(0,1-x)) = (2-x)(1-x)$
Quindi so che i suoi due autovalori sono $\lambda_1=2$ e $\lambda_1=1$
So anche che essendo gli autovalori 2 distinti, la loro molteplicità è uguale a 1, quindi è diagonalizzabile, e se non erro dovrebbe essere semplicemente $((2,0),(0,1))$
6) (e dopo non rompo più, spero) Come trovo autovalori ed autovettori di una matrice? So che si può diagonalizzare la matrice e la diagonale sarà composta dagli autovettori, ma non so se ci sono metodi alternativi..
- Risposta auto-trovata, il concetto di radice corrisponde con quello di autovalori, la risposta la sapevo già e non sapevo di saperla
PS: mi scuso per eventuali errori ortografici o varie oscenità matematiche, ho cercato di fare più attenzione possibile
Grazie in anticipo a chi proverà ad aiutarmi in qualsiasi modo
Risposte
Leggi il regolamento del forum:
https://www.matematicamente.it/forum/reg ... 26457.html
Articolo 1.4 .
https://www.matematicamente.it/forum/reg ... 26457.html
Articolo 1.4 .
Hai ragione, aggiungo subito le parti del ragionamento che ho provato a seguire 
Ok
Fatto, spero sia sufficiente.. 
nel frattempo sto cercando di risolvere alcuni esercizi più sempliciotti per risolvere poi quelli piu complicati, magari trovo qualche risposta e la includo nella domanda, ad esempio ho già risolto la domanda 6 
nel frattempo sto cercando di risolvere alcuni esercizi più sempliciotti per risolvere poi quelli piu complicati, magari trovo qualche risposta e la includo nella domanda, ad esempio ho già risolto la domanda 6
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