Suriettività
Data l'applicazione lineare definita dalla seguente matrice:
$((1,1,2,1),(0,1,1,1),(1,1,1,2))$
la soluzione dice che è suriettiva ma non iniettiva, vorrei provare a ragionarci con voi.
L'applicazione va da $RR^4$ a $RR^3$ pertanto non è biettiva in quanto definita tra spazi di dimensione diversa.
La matrice risolvendo il sistema alla Gauss ha 3 pivot quindi il rango è $r=3$ ragion per cui, per il teorema di Grassman o nullità rango, $DimX=r+dimKer$ dove $r$ rappresenta la dimensione dell'immagine.
Quindi il $DimKer=1$ pertanto non può essere iniettiva.
Rimane da capire la suriettività... qua vi chiedo aiuto.
$((1,1,2,1),(0,1,1,1),(1,1,1,2))$
la soluzione dice che è suriettiva ma non iniettiva, vorrei provare a ragionarci con voi.
L'applicazione va da $RR^4$ a $RR^3$ pertanto non è biettiva in quanto definita tra spazi di dimensione diversa.
La matrice risolvendo il sistema alla Gauss ha 3 pivot quindi il rango è $r=3$ ragion per cui, per il teorema di Grassman o nullità rango, $DimX=r+dimKer$ dove $r$ rappresenta la dimensione dell'immagine.
Quindi il $DimKer=1$ pertanto non può essere iniettiva.
Rimane da capire la suriettività... qua vi chiedo aiuto.
Risposte
$L_A: RR^4->RR^3$
quindi?
$ r((1,1,2,1),(0,1,1,1),(1,1,1,2))=dim(Im(L_A))=dim(RR^3)$
quindi?

E' sufficiente che la dimensione dell'immagine sia uguale a quella del codominio per avere la suriettività?
Se così ci siamo!
Se così ci siamo!

"zio_mangrovia":
E' sufficiente che la dimensione dell'immagine sia uguale a quella del codominio per avere la suriettività?
Se così ci siamo!
Yessa!

In generale
se $f: RR^n->RR^m$ allora
$f$ è iniettiva se e solo se $dim(ker(f))=0$
$f$ è surriettiva se e solo se $dim(Im(f))=m$
$f$ è surriettiva se e solo se $dim(Im(f))=m$
Se $n>m$, allora $f$ non può mai essere iniettiva (perché?

Se $n

Se $n=m$, $f$ è iniettiva se e solo se è suriettiva!