Superficie tubolare attorno ad una curva
Ho una curva biregolare in parametro d'arco $\sigma :I \rightarrow \mathbb{R}^3$ e da essa, fissato $\epsilon >0$ costruisco la superficie tubolare di raggio $\epsilon$ associata a $\sigma$ parametrizzata da ($n(s)$ e $b(s)$sono rispettivamente il versore normale e il versore binormale della curva $\sigma$):
$\phi^\epsilon:I\times(0,2\pi)\rightarrow \mathbb{R}^3$
$(s,\theta)\mapsto \sigma(s)+\epsilon(\cos(\theta)n(s)+\sin(\theta)b(s))$
Devo mostrare che per ogni intervallo compatto $[a,b]\subseteq I$ esiste un $\epsilon >0$ tale che la restrizione $\phi^\epsilon|_{(a,b)\times (0,2\pi)}$ abbia differenziale ovunque iniettivo, sia un'applicazione globalmente iniettiva e sia un omeomorfismo con l'immagine.
Allora, ho dimostrato che, se $M$ è il massimo della curvatura $k$ di $\sigma|_{[a,b]}$ allora $\phi^\epsilon|_{(a,b)\times (0,2\pi)}$ ha differenziale iniettivo a patto di prendere $\epsilon<\frac{1}{M}$ e per quanto riguarda l'iniettività globale di $\phi^\epsilon|_{(a,b)\times (0,2\pi)}$ credo che si possa sfruttare in qualche modo il teorema di esistenza dell'intorno tubolare. Il problema è che non ho la minima idea di come poter dimostrare che (eventualmente diminuendo il valore di $\epsilon$) l'applicazione $\phi^\epsilon|_{(a,b)\times (0,2\pi)}$ sia un omeomorfismo con l'immagine.
Qualcuno può darmi una mano?
$\phi^\epsilon:I\times(0,2\pi)\rightarrow \mathbb{R}^3$
$(s,\theta)\mapsto \sigma(s)+\epsilon(\cos(\theta)n(s)+\sin(\theta)b(s))$
Devo mostrare che per ogni intervallo compatto $[a,b]\subseteq I$ esiste un $\epsilon >0$ tale che la restrizione $\phi^\epsilon|_{(a,b)\times (0,2\pi)}$ abbia differenziale ovunque iniettivo, sia un'applicazione globalmente iniettiva e sia un omeomorfismo con l'immagine.
Allora, ho dimostrato che, se $M$ è il massimo della curvatura $k$ di $\sigma|_{[a,b]}$ allora $\phi^\epsilon|_{(a,b)\times (0,2\pi)}$ ha differenziale iniettivo a patto di prendere $\epsilon<\frac{1}{M}$ e per quanto riguarda l'iniettività globale di $\phi^\epsilon|_{(a,b)\times (0,2\pi)}$ credo che si possa sfruttare in qualche modo il teorema di esistenza dell'intorno tubolare. Il problema è che non ho la minima idea di come poter dimostrare che (eventualmente diminuendo il valore di $\epsilon$) l'applicazione $\phi^\epsilon|_{(a,b)\times (0,2\pi)}$ sia un omeomorfismo con l'immagine.
Qualcuno può darmi una mano?
Risposte
Forse non serve a nulla, ma tanto vale provare... (supponiamo di aver dimostrato l'iniettività globale)
Poichè una mappa continua da un compatto in un Hausdorff è chiusa, $\forall \delta >0$ sufficientemente piccolo, l'applicazione $\phi^\epsilon|_{[a+\delta,b-\delta]\times[\delta,2\pi-\delta]}$ è un omeomorfismo con l'immagine.
Da qui c'è qualche modo per estendermi al risultato voluto?
Poichè una mappa continua da un compatto in un Hausdorff è chiusa, $\forall \delta >0$ sufficientemente piccolo, l'applicazione $\phi^\epsilon|_{[a+\delta,b-\delta]\times[\delta,2\pi-\delta]}$ è un omeomorfismo con l'immagine.
Da qui c'è qualche modo per estendermi al risultato voluto?
up! 
E' da tantissimo tempo che non faccio esercizi del genere ma immagino che tu possa cercare di dimostrare che esiste un diffeomorfismo tra il cilindro (pieno) \( \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \mid a \le x \le b \wedge x^2 + z^2 < \epsilon \} \) e l'insieme definito da \( \{ \sigma(s) + \lambda\,(\cos(\theta)\,n(s) + \sin(\theta)\,b(s) \mid a \le s \le b \wedge 0 \le \theta < 2\,\pi \wedge \lambda < \epsilon \} \) per un qualche \( \epsilon\) sufficientemente piccolo. Questo diffeomorfismo manda la curva nell'asse \(x\) e il resto in \((s, \lambda\,\cos(\theta), \lambda\,\sin(\theta)).\)
EDIT: Probabilmente proverei ad usare il teorema della funzione inversa.
EDIT: Probabilmente proverei ad usare il teorema della funzione inversa.
Ti scrivo un po' quella che è la mia idea per dimostrare quello che ho scritto nel mio post precedente. Si tratta di un abbozzo poco formale. Parti dalla mappa \( f(x, y, z) = \sigma(x) + y\,n(x) + z\,b(x) \) definita nell'insieme \( [a, b] \times \mathbb R^2 \). Questa mappa è sicuramente continua e differenziabile e sulla curva ha differenziale invertibile. Per ogni punto sulla curva esiste quindi un intorno diffeomorfo ad un intorno della sua controimmagine. Questo intorno conterrà un cilindro (prendo l'intervallo sulla \(x\) aperto in modo da avere un insieme aperto) del tipo definito prima. A questo punto l'idea è di prendere un insieme finito di questi cilindri aperti (\([a,b]\) è compatto) e di incollarli insieme. L'intersezione tra i cilindri è infatti non nulla e la controimmagine la stessa. A questo punto hai un diffeomorfismo che puoi usare.
La tua costruzione dovrei averla capita, ma al di là di questo non mi è chiaro perchè l'esistenza di un simile diffeomorfismo implica che la mappa $\phi^\epsilon|_{(a,b)\times (0,2\pi)}$ sia un omeomorfismo tra $(a,b)\times (0,2\pi)$ e l'insieme $\{\sigma(s)+\epsilon(\cos(\theta)n(s)+\sin(\theta)b(s)) | s\in (a,b) , \theta \in (0,2\pi)\}$...
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