Superficie rigata - Vettori tangenti alle curve coordinate
Salve, ho un problema con questo esercizio.
"Considerare la rigata
$ X(u,v)=(2ve^u+3u^2,(u+3)v+u^2,3uv+e^u) $
Determinare la curva direttrice e la retta generatrice, determinare i vettori $ X_u $ e $ X_v $ tangenti alle curve coordinate della superficie e l'equazione cartesiana del piano tangente alla superficie nel punto $ X(0,1)=(2,3,1) $ .
Determinare un vettore normale unitario alla superficie sempre nel punto $ (0,1) $."
Dovrei aver trovato nel modo giusto la curva direttrice e la retta generatrice (scomponendo ogni componente della rigata in una funzione di $ u $ più una funzione di $ u $ moltiplicata per $ v $.
Curva: $ C(u)=(3u^2,u^2,e^u ) $
Retta: $ r(u)=(2e^u,u+3,3u) $
E dovrei aver trovato anche le curve coordinate in $ (0,1) $:
$ C_u=(2e^u+3u^2,u^2+u+3,3u+e^u) $
$ C_v=(0,3v,0) $
Ma mi sono bloccato qui, non so come proseguire.
Grazie mille.
"Considerare la rigata
$ X(u,v)=(2ve^u+3u^2,(u+3)v+u^2,3uv+e^u) $
Determinare la curva direttrice e la retta generatrice, determinare i vettori $ X_u $ e $ X_v $ tangenti alle curve coordinate della superficie e l'equazione cartesiana del piano tangente alla superficie nel punto $ X(0,1)=(2,3,1) $ .
Determinare un vettore normale unitario alla superficie sempre nel punto $ (0,1) $."
Dovrei aver trovato nel modo giusto la curva direttrice e la retta generatrice (scomponendo ogni componente della rigata in una funzione di $ u $ più una funzione di $ u $ moltiplicata per $ v $.
Curva: $ C(u)=(3u^2,u^2,e^u ) $
Retta: $ r(u)=(2e^u,u+3,3u) $
E dovrei aver trovato anche le curve coordinate in $ (0,1) $:
$ C_u=(2e^u+3u^2,u^2+u+3,3u+e^u) $
$ C_v=(0,3v,0) $
Ma mi sono bloccato qui, non so come proseguire.
Grazie mille.
Risposte
A me la $r(u)$ non sembra proprio una retta, non credi? Forse ti sei perso la definizione: se la superficie rigata è scritta nella forma $S(u,v)=C(u)+v\cdot r(u)$ dove $C,\ r$ sono due curve, allora $C(u)$ è la direttrice mentre, per ogni punto $u=u_0$ fissato la retta $S(u_0,v)=C(u_0)+v\ r(u_0)$ passa per il punto $C(u_0)$, ha come direzione il vettore $r(u_0)$ ed è la generatrice nel punto $C(u_0)$.
Dopodiché, i vettori $X_u$ e $X_v$ non mi sembrano assolutamente quelli (come le fai le derivate)? Quelli giusti sono questi:
$X_u=(2v e^u+6u,\ v+2u,\ 3v+e^u),\qquad X_v=(2e^u,\ u,\ 3u)=r(u)$
Per determinare il piano tangente, basta calcolare il vettore normale ad esso nel punto richiesto: dovresti sapere che tale vettore è $N(u,v)=X_u\wedge X_v$ (prodotto vettoriale) e quindi se indichiamo con $V=(x-2,\ y-3,\ z-1)$ un generico vettore del piano, l'equazione di questo è data da $V\times N=0$ che si può anche scrivere, usando il triplo prodotto vettore, $(V X_u X_v)=0$. Ovviamente per il vettore normale unitario, basta calcolare il modulo di $N$ e ottenere $n(u,v)={N(u,v)}/{|N(u,v)|}$.
Dopodiché, i vettori $X_u$ e $X_v$ non mi sembrano assolutamente quelli (come le fai le derivate)? Quelli giusti sono questi:
$X_u=(2v e^u+6u,\ v+2u,\ 3v+e^u),\qquad X_v=(2e^u,\ u,\ 3u)=r(u)$
Per determinare il piano tangente, basta calcolare il vettore normale ad esso nel punto richiesto: dovresti sapere che tale vettore è $N(u,v)=X_u\wedge X_v$ (prodotto vettoriale) e quindi se indichiamo con $V=(x-2,\ y-3,\ z-1)$ un generico vettore del piano, l'equazione di questo è data da $V\times N=0$ che si può anche scrivere, usando il triplo prodotto vettore, $(V X_u X_v)=0$. Ovviamente per il vettore normale unitario, basta calcolare il modulo di $N$ e ottenere $n(u,v)={N(u,v)}/{|N(u,v)|}$.
Non mi sembra di aver mai scritto i vettori $ X_u $ o $ X_v $, mi sembra di aver scritto le curve coordinate. Penso di sapere come si deriva e per le curve coordinate non ho derivato, mi suona un po' scortese la tua risposta. In ogni caso grazie della seconda parte della spiegazione.
Allora hai sbagliato notazione: Le curve coordinate avresti dovuto indicarle con $X(0,v),\ X(u,1)$ e non come hai fatto. Le curve coordinate sono quelle relative alla superficie rigata, non alla direttrice. Ti do due consigli
1) rileggi attentamente le definizioni, perché non sei molto coerente;
2) se usi notazioni errate, è ovvio che tu venga ripreso. Mi spiace te la sia presa a male, ma leggendo quello che hai scritto, con quella simbologia, pare che tu non abbia capito niente di ciò che stai facendo e ti assicuro che il docente che ti corregge uno scritto reagirebbe esattamente come me (che reagisco così, quando vedo stupidate simili sui miei scritti di Analisi).
1) rileggi attentamente le definizioni, perché non sei molto coerente;
2) se usi notazioni errate, è ovvio che tu venga ripreso. Mi spiace te la sia presa a male, ma leggendo quello che hai scritto, con quella simbologia, pare che tu non abbia capito niente di ciò che stai facendo e ti assicuro che il docente che ti corregge uno scritto reagirebbe esattamente come me (che reagisco così, quando vedo stupidate simili sui miei scritti di Analisi).
Mi dispiace, sul libro dove ho studiato le curve coordinata alla rigata erano indicate così. C'è stato solo un malinteso 
.
Grazie comunque dell'aiuto.
.Grazie comunque dell'aiuto.
Prego. Se è possibile, quale libro stai usando?
Inizia con la S, ma ho solo il capitolo su geometria differenziale che mi ha fotocopiato la professoressa, non tutto il libro.
Mmmm... fai una cosa, allora: ti consiglio di recuperare i seguenti libri (se conosci l'inglese, li trovi in formato pdf in rete):
M.P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces
M.Lipschutz: Differential Geometry (collana Schaum's)
Entrambi buoni sia per definizioni che esercizi e il secondo stracolmo di esercizi.
M.P. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces
M.Lipschutz: Differential Geometry (collana Schaum's)
Entrambi buoni sia per definizioni che esercizi e il secondo stracolmo di esercizi.
Grazie mille. Spero di non dover recuperarli dato che oggi ho dato Geometria e studio Fisica, quindi non ho Geometrie successive . Grazie comunque delle dritte.
. Grazie comunque delle dritte.
Se studi fisica, senti a me, ti conviene avere un buon riferimento di geometria differenziale per curve e superfici, visto il grande uso che se ne fa. Tra l'altro, quando andrai più avanti, affronterai sicuramente anche argomenti quali le varietà semi-Riemanniane, quindi conviene conoscere queste basi 8ed avere, di nuovo, un riferimento immediato e chiaro dove poter guardare).
Allora provvedo a cercarli in pdf, grazie mille.
io non riesco a trovare il secondo in pdf!
qualcuno ha il link?
qualcuno ha il link?
Il parametro $v$ è un buon candidato per generare delle rette. Compare sempre con grado 1....
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