Superficie regolare fino al bordo

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Trovo nel mio libro (di analisi, ma mi sembrava più opportuno postare qui...) la definizione di una superficie regolare fino al bordo se ammette una parametrizzazione $\vec r: D->RR^3$ tale che
-$\vec r$ è definita e di classe $C^1$ su $A$ dove $A$ è un aperto contenente $D$;
-\(||\vec r_u (u,v) × \vec r_v (u,v)|| \neq 0\) per ogni $(u,v) \in D$ e
-se $(u_1,v_1)$ e $(u_2,v_2)$ appartengono a $\partial D$ e $\vec r (u_1,v_1)=\vec r (u_2,v_2)$ allora i corrispondenti versori normali sono paralleli: $\hat N(u_1,v_1)=±\hat N(u_2,v_2)$.
Il libro specifica che il versore normale $\hat N=(\vec r_u (u,v) × \vec r_v (u,v))/(||\vec r_u (u,v) × \vec r_v (u,v)|| )$ è ben definito in quanto $\vec r_u (u,v) × \vec r_v (u,v) != \vec 0$.
Mi chiedo come mai non debba essere piuttosto \(||\vec r_u (u,v) × \vec r_v (u,v)|| \neq 0 \text{ } \forall (u,v) \in \bar D\), affinché $\hat N$ sia ben definito anche su $\partial D$...
Che cosa ne pensate?
$+oo$ grazie a tutti!!!

[Seneca1]

Se ho capito bene il tuo dubbio, dalle proprietà della norma $||\bb{v}|| = 0$ $hArr$ $\bb{v} = \bb{0}$.

[DavideGenova1]

Grazie, Seneca!!! La cosa che non mi è chiara è il perché nella definizione si specifichi che una superficie regolare fino al bordo, che ammette versore normale anche sul bordo, debba essere tale che \(||\mathbf{r}_u (u,v) × \mathbf{r}_v (u,v)|| \neq 0\) per ogni $(u,v) \in D$ piuttosto che per ogni $(u,v) \in \bar D$ compresa la frontiera...
Grazie ancora!!!