Superficie di rotazione
Buongiorno ragazzi, sto preparando l'esame di Geometria ed algebra. Devo risolvere questo esercizio:
"Si trovi la superficie S ottenuta dalla rotazione della curva γ di equazioni $ x=-t ,
y= t^2+1 ,
z=2t $
attorno alla retta $ x= 2z-1 ,
y= z+1 $ "
Allora per risolverlo, cercando su alcuni libri e un po' su internet, ho provato a fare così:
Ho trovato il generico punto Pt (-t ; t^2 , 2t) ed il piano passante per il punto generico ed ortogonale all'asse di rotazione della retta s trovando $ : 2x+y+z-t^2=0 $
La circonferenza che giace sul piano ha centro $ Ct: π ∩ s $ e raggio pari alla distanza tra il centro della circonferenza Ct e il punto generico Pt. Al variare di t si ottengono tutte le circonferenze la cui unione costituisce la superficie di rotazione.
Bene, andando a trovare il centro Ct come intersezione, mi ritrovo il tutto in $ t^2 $ e quindi non riesco a ricavarne il centro.
Come fare? Per ottenere il generico punto Pt dovrei derivare quindi avere come Pt (-1, 2t, 2) e procedere in egual modo descritto sopra così da eliminare il t^2?
Se avessi avuto una retta come curva, credo che questo procedimento sarebbe andato bene, solo che così, avendo termini in t^2, non mi trovo molto.
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
"Si trovi la superficie S ottenuta dalla rotazione della curva γ di equazioni $ x=-t ,
y= t^2+1 ,
z=2t $
attorno alla retta $ x= 2z-1 ,
y= z+1 $ "
Allora per risolverlo, cercando su alcuni libri e un po' su internet, ho provato a fare così:
Ho trovato il generico punto Pt (-t ; t^2 , 2t) ed il piano passante per il punto generico ed ortogonale all'asse di rotazione della retta s trovando $ : 2x+y+z-t^2=0 $
La circonferenza che giace sul piano ha centro $ Ct: π ∩ s $ e raggio pari alla distanza tra il centro della circonferenza Ct e il punto generico Pt. Al variare di t si ottengono tutte le circonferenze la cui unione costituisce la superficie di rotazione.
Bene, andando a trovare il centro Ct come intersezione, mi ritrovo il tutto in $ t^2 $ e quindi non riesco a ricavarne il centro.
Come fare? Per ottenere il generico punto Pt dovrei derivare quindi avere come Pt (-1, 2t, 2) e procedere in egual modo descritto sopra così da eliminare il t^2?
Se avessi avuto una retta come curva, credo che questo procedimento sarebbe andato bene, solo che così, avendo termini in t^2, non mi trovo molto.
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
Risposte
"steing":
... della curva γ di equazioni $x=-t, y= t^2+1,z=2t$ ...
... il generico punto $P(-t,t^2,2t)$ ...
Non si comprende se sia $[y=t^2+1]$ oppure $[y=t^2]$.
La curva è $ y= t^2+1 $ . Per il generico punto Pt ho scelto io (non so se correttamente o meno) di scegliere solo i parametri e quindi di avere $ Pt= (-t , t^2 , 2t) $
"steing":
... non so se correttamente o meno ...
Non correttamente. Ad ogni modo, avevo pensato di seguire un procedimento come quello da te proposto. Dopo aver determinato il piano passante per $P(-t,t^2+1,2t)$ perpendicolare alla retta $[x=2z-1] ^^ [y=z+1]$:
$[2x+2t+y-t^2-1+z-2t=0] rarr [2x+y+z-t^2-1=0]$
si può ricavare il centro della circonferenza risolvendo il seguente sistema:
$[x=2z-1] ^^ [y=z+1] ^^ [2x+y+z-t^2-1=0] rarr C((t^2-1)/3,(t^2+8)/6,(t^2+2)/6)$
e il raggio della medesima calcolando la distanza $\bar{CP}$:
$[R^2=((t^2-1)/3+t)^2+((t^2+8)/6-t^2-1)^2+((t^2+2)/6-2t)^2=5/6t^4+13/3t^2-2t+1/3]$
In definitiva, la superficie richiesta è esprimibile mediante l'intersezione della sfera di centro $C$ e raggio $R$ e il piano passante per $P$ perpendicolare alla retta:
$\{((x-(t^2-1)/3)^2+(y-(t^2+8)/6)^2+(z-(t^2+2)/6)^2=5/6t^4+13/3t^2-2t+1/3),(2x+y+z-t^2-1=0):}$
Ricavando $t^2$ dalla seconda equazione e sostituendo nella prima, si ottiene l'equazione della superficie in forma implicita. Purtroppo, la presenza del termine lineare in $t$ nell'espressione del raggio complica notevolmente i calcoli necessari per dare all'equazione un aspetto più gradevole, sempre che non abbia sbagliato qualche conto (ma non mi pare).
Non ci sono modi più agevoli per risolverlo? (Per ridurre i calcoli, anche perché il tempo per l'esame non sarà notevole, quindi mi pare strano che questo sia l'unico modo...) Su internet ho trovato solo questo metodo, però nel caso di questo esercizio o di altri (addirittura anche in $ t^3 $ o con esponenziali come e $ e^(2t) $ ) questo metodo non mi sembra il più adatto.
Ci sono altri consigli in merito?
Ci sono altri consigli in merito?
Qualcuno sa rispondermi?
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