Superficie di rotazione
Qualcuno può dirmi come si scrive l'equazione della quadrica di rotazione data l'equazione della retta da cui è generata e l'asse di rotazione?
Risposte
Siano s l'asse di rotazione ed r la retta che ruota. Il vettore direzionale di s sia $(l,m,n)$ e le equazioni di r siano:
\(\displaystyle \begin{cases}ux+vy+wz+p=0\\u'x+v'y+w'z+p'=0\end{cases} \)
Inoltre indico con $Q(\alpha,\beta,\gamma)$ il generico punto di r e con $C(a,b,c)$ un qualsiasi punto di s.
Allora le equazioni della superficie richiesta sono date dal sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} l(x-\alpha)+m(y-\beta)+n(z-\gamma)=0\\ u\alpha+v\beta+w\gamma+p=0\\u'\alpha+v'\beta+w'\gamma+p'=0 \\(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=(a-\alpha)^2+(b-\beta)^2+(c-\gamma)^2 \end{cases} \)
Da questo sistema occorre poi eliminare le coordinate ( generiche) $\alpha,\beta,\gamma $. Questo si può fare facilmente
perché le prime tre equazioni del sistema sono lineari nelle incognite $\alpha,\beta,\gamma $ e quindi queste ultime si possono ricavare dal (sotto)sistema formato appunto dalle prime 3 equazioni. I valori così trovati si sostituiscono nella quarta equazione e si trova in questo modo l'equazione cartesiana della superficie richiesta. Il metodo è valido anche se a ruotare non è una retta r ma una curva qualsiasi $\Gamma$. In questo caso ovviamente occorre sostituire alle equazioni di r quelle di $\Gamma$.
N.B. Se posti qualche esercizio che hai da fare sull'argomento lo possiamo risolvere insieme.
\(\displaystyle \begin{cases}ux+vy+wz+p=0\\u'x+v'y+w'z+p'=0\end{cases} \)
Inoltre indico con $Q(\alpha,\beta,\gamma)$ il generico punto di r e con $C(a,b,c)$ un qualsiasi punto di s.
Allora le equazioni della superficie richiesta sono date dal sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} l(x-\alpha)+m(y-\beta)+n(z-\gamma)=0\\ u\alpha+v\beta+w\gamma+p=0\\u'\alpha+v'\beta+w'\gamma+p'=0 \\(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=(a-\alpha)^2+(b-\beta)^2+(c-\gamma)^2 \end{cases} \)
Da questo sistema occorre poi eliminare le coordinate ( generiche) $\alpha,\beta,\gamma $. Questo si può fare facilmente
perché le prime tre equazioni del sistema sono lineari nelle incognite $\alpha,\beta,\gamma $ e quindi queste ultime si possono ricavare dal (sotto)sistema formato appunto dalle prime 3 equazioni. I valori così trovati si sostituiscono nella quarta equazione e si trova in questo modo l'equazione cartesiana della superficie richiesta. Il metodo è valido anche se a ruotare non è una retta r ma una curva qualsiasi $\Gamma$. In questo caso ovviamente occorre sostituire alle equazioni di r quelle di $\Gamma$.
N.B. Se posti qualche esercizio che hai da fare sull'argomento lo possiamo risolvere insieme.
Un esempio di esercizio è il seguente:
Scrive l'equazione della quadrica (in $ mathbb(E)^3 $ ) generata dalla rotazione della retta $ x=y=2 $ attorno alla retta $ 2x-2y+1=4x-4z+3=0 $ ...
Scrive l'equazione della quadrica (in $ mathbb(E)^3 $ ) generata dalla rotazione della retta $ x=y=2 $ attorno alla retta $ 2x-2y+1=4x-4z+3=0 $ ...
Per questo esercizio i calcoli sono più semplici perché è $\alpha=2,\beta=2$.
$Q=(2,2,\gamma)$
$C=(0,1/2,3/4)$
$(l,m,n)=(1,1,1)$
Il sistema che ti ho suggerito si riduce a :
\(\displaystyle \begin{cases}x-2+y-2+z-\gamma=0\\x^2+(y-1/2)^2+(z-3/4)^2=(0-2)^2+(1/2-2)^2+(3/4-\gamma)^2\end{cases} \)
dalla prima equazione trovi $\gamma=x+y+z-4$ che sostituito nella seconda equazione , con qualche calcolo, dà l'equazione della quadrica richiesta.
$Q=(2,2,\gamma)$
$C=(0,1/2,3/4)$
$(l,m,n)=(1,1,1)$
Il sistema che ti ho suggerito si riduce a :
\(\displaystyle \begin{cases}x-2+y-2+z-\gamma=0\\x^2+(y-1/2)^2+(z-3/4)^2=(0-2)^2+(1/2-2)^2+(3/4-\gamma)^2\end{cases} \)
dalla prima equazione trovi $\gamma=x+y+z-4$ che sostituito nella seconda equazione , con qualche calcolo, dà l'equazione della quadrica richiesta.
Potresti spiegarmi brevemente perché si procede in questo modo?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo