Superficie dalla rotazione di una conica

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Ciao ragà, ho bisogno di un aiuto con questo esercizio:
Scrivere l'equaz della superficie che si ottiene facendo ruotare la parabola:

\begin{cases} {y^2=2px \\ z=0}
\end{cases} attorno al suo asse.

La soluzione del mio prof è questa:
L'asse della parabola è la retta: \begin{cases} {y=0 \\ z=0}
\end{cases} quindi il punto A(a,b,0) descrive il parallelo
\begin{cases} {(x-a)^2 + y^2 + z^2 = b^2 \\ x=a}
\end{cases}

eliminando a,b ottengo l'equazione della superficie che poi è formata da due rette immaginarie.

Io non ho capito come ha trovato l'equazione di quella sfera di centro (a,0,0) e raggio b

[Sk_Anonymous]

La superficie richiesta è un paraboloide di rotazione le cui sezioni col generico piano \(\alpha \) perpendicolare all'asse r della parabola data ( e cioè all'asse x, nel nostro caso) sono le circonferenze \(\gamma\), alcune delle quali sono disegnate in figura. Per avere la generica \( \gamma \) si può procedere come segue .
Sia \(A(a,b,0) \) il generico punto della parabola data e \( C(a,0,0)\) la sua proiezione ortogonale sull'asse x (vedi figura).
Si descrive la superficie sferica S di centro C e raggio AC. Si taglia S col piano \(\alpha\) per A perpendicolare all'asse x, ottenendo cosi la generica sezione \(\gamma\): la totalità di queste sezioni è il paraboloide cercato. Per passare ai calcoli si ha il sistema ( su cui sei invitato a riflettere ) :
\(\begin{cases}b^2=2pa\\(x-a)^2+y^2+z^2=b^2\\x=a\end{cases}\)
Eliminando dal sistema i parametri \(a,b\) si ha:
\(y^2+z^2=2px\)
che rappresenta l'equazione del paraboloide di rotazione voluto.

[Rs9000]

Wow xD
L'immagine e' chiarissima! quindi il raggio della generica sfera e' l'ordinata y del punto A che poi e' la y della parabola, cioe' la distanza di un punto su di essa dall'asse.
Quindi sego le sfere con il piano x=a che si "muove" sull'asse ed ottengo tanti cerchi concentrici che formano il paraboloide!
Grazie mille