Superfici triangolabili
salve ragazzi!
durante il corso la mia prof, parlando di superfici triangolabili, ha citato (senza dimostrare) il teorema di Rado (ogni superficie compatta è triangolabile) specificando che NON vale il viceversa....ma riflettendoci, secondo me, il viceversa vale eccome: considerato che, se la superficie è triangolabile esiste un omeomorfismo tra questa e il poliedro del complesso dei triangoli, che è un compatto, e, ricordando che la compattezza è un invariante topologico, allora anche la superficie è compatta, in virtù di quell'omeomorfismo... sbaglio?
Devo dedurre che è stata una distrazione della prof?
durante il corso la mia prof, parlando di superfici triangolabili, ha citato (senza dimostrare) il teorema di Rado (ogni superficie compatta è triangolabile) specificando che NON vale il viceversa....ma riflettendoci, secondo me, il viceversa vale eccome: considerato che, se la superficie è triangolabile esiste un omeomorfismo tra questa e il poliedro del complesso dei triangoli, che è un compatto, e, ricordando che la compattezza è un invariante topologico, allora anche la superficie è compatta, in virtù di quell'omeomorfismo... sbaglio?
Devo dedurre che è stata una distrazione della prof?
Risposte
Non conosco l'argomento ma a intuito direi che un qualsiasi piano in $RR^3$ sarà una supeficie triangolabile, no? E il piano non mi pare compatto. Però, ripeto, non lo so se vale come controesempio.
uhm... ci penso un pò....
forse come controesempio non va bene, perchè la triangolazione deve avvenire mediante una famiglia finita di triangoli e quindi in questo senso, non penso di farcela a ricoprire un piano di $RR^3$ con una famiglia finita di triangoli, proprio perchè è compatto... ma questo mi dice qualcosa in più? non so... comunque grazie lo stesso per avermi fornito questo esempio, perchè mi aiuta a riflettere su queste cose... 
Non lo so, magari se scrivi che cosa significa "superficie triangolabile" forse posso essere d'aiuto (ma con probabilità bassa, purtroppo).
ok, grazie, allora senza andare troppo nel formale, triangolare una superficie vuol dire vederla come unione di una famiglia finita di triangoli (come se la ricoprissi), in modo che due triangoli diversi o non abbiano niente in comune, oppure abbiano un lato in comune o un vertice in comune (questi "o" si escludono a vicenda); da un punto di vista più rigoroso una triangolazione di una superficie è un omeomorfismo tra il poliedro del complesso dei triangoli (per poliedro si intende l'unione della famiglia dei triangoli) e la superficie stessa...
Non sono andata troppo nello specifico, comunque ti ringrazio lo stesso, anche con probabilità bassa di aiuto
, magari ti diverti e così ti avrò aperto le porte del fantastico mondo delle triangolazioni, che conosco poco anche io, per ora 
Non sono andata troppo nello specifico, comunque ti ringrazio lo stesso, anche con probabilità bassa di aiuto
, magari ti diverti e così ti avrò aperto le porte del fantastico mondo delle triangolazioni, che conosco poco anche io, per ora
Ma i triangoli devono avere il bordo o no? Perché se possono non avere il bordo, allora il piano è triangolabile: infatti il piano è omeomorfo a questo quadrato:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1; axes(); stroke="gray"; rect([0, 0], [1, 1]); stroke="black"; line([0, 1], [1, 0]);[/asvg]
(le linee grigie non appartengono al quadrato).
Non lo so, probabilmente è una obiezione cretina (
), il fatto è che di topologia algebrica sono clamorosamente digiuno ( 
).
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1; axes(); stroke="gray"; rect([0, 0], [1, 1]); stroke="black"; line([0, 1], [1, 0]);[/asvg]
(le linee grigie non appartengono al quadrato).
Non lo so, probabilmente è una obiezione cretina (
), il fatto è che di topologia algebrica sono clamorosamente digiuno ( ).
si, i triangoli devono avere il bordo, perchè il poliedro che si considera è un compatto, quindi nel caso dei triangoli devono essere chiusi e limitati....
Probabilmente per superfici triangolabili si ammettono anche quelle che possono essere triangolate con una triangolazione non finita. Se la superficie è omeomorfa ad un unione infinita di compatti non è detto che sia compatta. Come nel caso del piano.
ma il problema è: "probabilmente" o è così? inoltre la compattezza è un invariante topologico e quindi si trasporta (mediante funzioni continue).... o no?
Io nella definizione di triangolazione non avevo la necessità che la famiglia di triangoli fosse finita, ma comunque non è questo il punto.
Se una superficie è triangolabile con una famiglia finita di triangoli sicuramente la superficie è compatta per il discorso che dicevi tu.
Credo anche che un qualsiasi insieme che sia triangolabile diventa automaticamente una superficie, proprio per definizione di varietà.
Giusto?
Se una superficie è triangolabile con una famiglia finita di triangoli sicuramente la superficie è compatta per il discorso che dicevi tu.
Credo anche che un qualsiasi insieme che sia triangolabile diventa automaticamente una superficie, proprio per definizione di varietà.
Giusto?
"GreenLink":
Se una superficie è triangolabile con una famiglia finita di triangoli sicuramente la superficie è compatta per il discorso che dicevi tu.
Credo anche che un qualsiasi insieme che sia triangolabile diventa automaticamente una superficie, proprio per definizione di varietà.
Giusto?
ok, allora su questo siamo d'accordo!
Per quanto riguarda la definizione di superfici triangolabili, tu che testi hai usato? perchè vorrei approfondire la cosa...
ed anzi, allora in linea generale, se la definizione non richiede una famiglia finita, ha ragione la mia prof a dire che il teorema di rado non vale anche al viceversa e cioè l'esempio di dissonance calzerebbe, in questo caso, giusto?
Ho usato delle dispense di un mio prof; in effetti la definizione che ho visto io mi sembra più sensata perchè anche le superfici non compatte come il piano si possono triangolare, sicuramente non con un numero finito di triangoli.
ho capito, ti ringrazio
prego!
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