Superfici parametrizzate
Ciao a tutti, ho un problema con queste poco simpatiche superfici. Spero che qualcuno possa illuminarmi (abbiate pazienza se è una domanda stupida ma purtroppo sono un po' asina): data l'equazione della superficie parametrizzata, come ottengo l'equazione cartesiana?
Esempio:
Si consideri in $ RR ^3 $ la superficie parametrizzata da $ X(u,v) = (u, v, u+v) $, con $ (u,v) in RR ^2 $ , si trovi l'equazione cartesiana di $ X(u,v) $ e si dica di che superficie si tratta.
Non so come fare, vi prego aiutatemi XD
Ho provato a calcolare l'equazione del piano tangente in un punto ma non so se è giusto.. Ho scelto un punto di coordinate $ (2,2) $, ho calcolato l'equazione della superficie in quel punto $ (2, 2, 4) $, ho calcolato i vettori tangenti in quel punto che mi danno $ Pu = (1, 0, 1), Pv = (0, 1, 1) $, e l'equazione del piano viene fuori $ x + y - z = 0 $... ma in realtà non so se tutto questo è corretto nè, soprattutto, se ha un senso e in tal caso come preocedere
Grazie in anticipo a chiunque avrà voglia di aiutarmi
Mary
Esempio:
Si consideri in $ RR ^3 $ la superficie parametrizzata da $ X(u,v) = (u, v, u+v) $, con $ (u,v) in RR ^2 $ , si trovi l'equazione cartesiana di $ X(u,v) $ e si dica di che superficie si tratta.
Non so come fare, vi prego aiutatemi XD
Ho provato a calcolare l'equazione del piano tangente in un punto ma non so se è giusto.. Ho scelto un punto di coordinate $ (2,2) $, ho calcolato l'equazione della superficie in quel punto $ (2, 2, 4) $, ho calcolato i vettori tangenti in quel punto che mi danno $ Pu = (1, 0, 1), Pv = (0, 1, 1) $, e l'equazione del piano viene fuori $ x + y - z = 0 $... ma in realtà non so se tutto questo è corretto nè, soprattutto, se ha un senso e in tal caso come preocedere
Grazie in anticipo a chiunque avrà voglia di aiutarmi
Mary
Risposte
...mi è venuto in mente che un'equazione cartesiana può essere anche $ z = x + y $ ... mi son risposta da sola o ho detto un'altra fesseria? 
Ti sei risposta da sola. Infatti, quella che hai scritto prima è la rappresentazione parametrica di un sottospazio vettoriale di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] di dimensione 2, ossia, in parole povere, di un piano passante per l'origine.
Dal sistema (che dovresti impostare sempre per rispondere a questo genere di domande):
[tex]\left\{\begin{matrix} x = u \\ y = v \\ z = u + v\end{matrix}[/tex]
la conclusione è immediata.
Ciao
P.S. Calcolare il piano tangente in un punto in generale non è molto utile a determinare il tipo di superficie...
Dal sistema (che dovresti impostare sempre per rispondere a questo genere di domande):
[tex]\left\{\begin{matrix} x = u \\ y = v \\ z = u + v\end{matrix}[/tex]
la conclusione è immediata.
Ciao
P.S. Calcolare il piano tangente in un punto in generale non è molto utile a determinare il tipo di superficie...
Grazie!!!
Ok niente piani tangenti allora
Ma la superficie in questione quindi è un piano?
Ok niente piani tangenti allora
Ma la superficie in questione quindi è un piano?
Sì, certo. L'equazione cartesiana, come avevi giustamente trovato, è [tex]z = x + y[/tex], che io preferisco scritta [tex]x+y-z=0[/tex] e questa è proprio l'equazione di un piano, la riconosci no? Si tratta del piano passante per l'origine e perpendicolare al vettore [tex](1,1,-1)[/tex].
Ma lol. Mi vergogno un po'. Suppongo che per voi siano cose veramente semplici.. Grazie per l'aiuto!!
Grazie per l'aiuto!!
No, non si tratta di cose semplici se è la prima volta che le vedi. Non devi avere esitazioni a chiedere.
Immagino che tu stia preparando un esame di geometria 1, o sbaglio? (ho visto anche il post sugli autovalori, quindi mi azzardo a fare quest'ipotesi...).
Ad esempio, in questo caso, l'equazione è una sola e pertanto possiamo pensarla come un sistema con una riga e tre incognite. Qual è il suo rango? E di conseguenza, qual è la dimensione del sottospazio individuato da tale equazione?
Immagino che tu stia preparando un esame di geometria 1, o sbaglio? (ho visto anche il post sugli autovalori, quindi mi azzardo a fare quest'ipotesi...).
Ad esempio, in questo caso, l'equazione è una sola e pertanto possiamo pensarla come un sistema con una riga e tre incognite. Qual è il suo rango? E di conseguenza, qual è la dimensione del sottospazio individuato da tale equazione?
Uhm.. rango = 1? Sto esaurendo il glucosio in circolo.. credo che andrò a cenare prima di riflettere meglio sulla tua proposta
In realtà sto preparando un esame di algebra lineare per chimici. C'è dentro un mucchio di roba, facciamo tante cose ma nessuna davvero approfonditamente.. mah.. (/polemic mode off)
In realtà sto preparando un esame di algebra lineare per chimici. C'è dentro un mucchio di roba, facciamo tante cose ma nessuna davvero approfonditamente.. mah.. (/polemic mode off)
Ah, ok! Giusto il rango... in ogni caso ti ho proposto un esercizio simile anche nell'altro post...
Ne riparliamo dopo che hai mangiato...
Anyway, se fai algebra lineare per i chimici, è naturale che facciate un sacco di roba... Se doveste fare tutto nei dettagli come noi matematici, non avreste tempo per fare le cose che per voi sono più importanti (e immagino, dal vostro punto di vista) più interessanti.
In ogni caso, se hai dubbi e/o desiderio di approfondire qualche aspetto, basta che chiedi!
Ne riparliamo dopo che hai mangiato...
Anyway, se fai algebra lineare per i chimici, è naturale che facciate un sacco di roba... Se doveste fare tutto nei dettagli come noi matematici
, non avreste tempo per fare le cose che per voi sono più importanti (e immagino, dal vostro punto di vista) più interessanti.In ogni caso, se hai dubbi e/o desiderio di approfondire qualche aspetto, basta che chiedi!
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