Superfici orientabili e grassmanniane
Siano $k < n$ interi positivi.
Def: Se $V$ è uno spazio vettoriale reale di dimensione finita, si dice ORIENTAZIONE di $V$ una classe di equivalenza della relazione d'equivalenza definita sull'insieme delle basi di $V$ nel modo seguente: due basi $B,B'$ di $V$ sono equivalenti se la matrice di cambiamento di base da $B$ a $B'$ ha determinante positivo.
Definiamo ora la grassmanniana e la grassmanniana orientata:
$G(n,k) = {V \subseteq RR^n \text{ sottospazio vettoriale} | dim V = k}$
$G_or (n,k) = {(V, omega) | V \subseteq RR^n \text{ sottospazio vettoriale}, \ omega \text{ orientazione di } V}$.
Ora definiamo su questi due insiemi una topologia:
sia $A={(v_1,...,v_k) in (RR^n)^k | v_1,...,v_k \text{ linearmente indipendenti} }$, esso è in bigezione canonica con $A' = {X \in M_{n,k} (RR) | rk(X) = k }$, quindi $A$ acquisisce una topologia ereditata da $A'$ che è un sottospazio di $M_{n,k} (RR)$ (che è isomorfo a $RR^{nk}$).
Definiamo su $A$ due relazioni di equivalenza:
$(v_1,...,v_k) -= (w_1,...,w_k)$ se $Span(v_1,...,v_k) = Span(w_1,...,w_k)$
$(v_1,...,v_k) ~= (w_1,...,w_k)$ se $Span(v_1,...,v_k) = Span(w_1,...,w_k)$ e la matrice di cambiamento di base ha determinante positivo (cioè definiscono la stessa orientazione sullo spazio generato)
Si vede che le seguenti sono bigezioni naturali:
$A/{-=} -> G(n,k) \ , \ [(v_1,...,v_k)]_{-=} -> Span(v_1,...,v_k)$
$A/{~=} -> G_or (n,k) \ , \ [(v_1,...,v_k)]_{~=} -> (Span(v_1,...,v_k),omega)$ dove $omega$ è l'orientazione definita da $(v_1,...,v_k)$.
Quindi le due grassmanniane (orientata e non orientata) acquisiscono tramite queste due bigezioni la topologia dei due spazi quozienti di $A$.
Dimostrare che:
1) con le due topologie definite sopra $G(n,k) \ , \ G_or (n,k)$ sono spazi compatti di Haussdorf
2) la mappa $p: G_or (n,k) -> G(n,k) \ , \ (V,omega) -> V$ che dimentica l'orientazione è un rivestimento di grado $2$.
Sia ora $S$ una $C^1$-superficie di dimensione $k$ in $RR^n$; sia
$tau : S -> G(n,k) \ , \ x -> Tan(S,x)$ che associa ad ogni punto di $S$ il corrispondente spazio tangente.
Dimostrare che:
3) $tau$ è un'applicazione continua.
Def: Una superficie si dice orientabile se su ogni spazio tangente possiamo scegliere un'orientazione in modo continuo, cioè se esiste $sigma : S -> G_or (n,k)$ continua tale che $p circ sigma = tau$, cioè se esiste un sollevamento di $tau$ rispetto al rivestimento $p$.
Dal teorema di sollevamento è noto che un tale sollevamento esiste se e solo se $tau_* ( pi_1 (S)) \subseteq p_* (pi_1 (G_or(n,k)) )$
Quindi ad esempio una superficie semplicemente connessa è sempre orientabile. Mi chiedevo quali fossero i gruppi fondamentali delle due Grassmanniane.
Def: Se $V$ è uno spazio vettoriale reale di dimensione finita, si dice ORIENTAZIONE di $V$ una classe di equivalenza della relazione d'equivalenza definita sull'insieme delle basi di $V$ nel modo seguente: due basi $B,B'$ di $V$ sono equivalenti se la matrice di cambiamento di base da $B$ a $B'$ ha determinante positivo.
Definiamo ora la grassmanniana e la grassmanniana orientata:
$G(n,k) = {V \subseteq RR^n \text{ sottospazio vettoriale} | dim V = k}$
$G_or (n,k) = {(V, omega) | V \subseteq RR^n \text{ sottospazio vettoriale}, \ omega \text{ orientazione di } V}$.
Ora definiamo su questi due insiemi una topologia:
sia $A={(v_1,...,v_k) in (RR^n)^k | v_1,...,v_k \text{ linearmente indipendenti} }$, esso è in bigezione canonica con $A' = {X \in M_{n,k} (RR) | rk(X) = k }$, quindi $A$ acquisisce una topologia ereditata da $A'$ che è un sottospazio di $M_{n,k} (RR)$ (che è isomorfo a $RR^{nk}$).
Definiamo su $A$ due relazioni di equivalenza:
$(v_1,...,v_k) -= (w_1,...,w_k)$ se $Span(v_1,...,v_k) = Span(w_1,...,w_k)$
$(v_1,...,v_k) ~= (w_1,...,w_k)$ se $Span(v_1,...,v_k) = Span(w_1,...,w_k)$ e la matrice di cambiamento di base ha determinante positivo (cioè definiscono la stessa orientazione sullo spazio generato)
Si vede che le seguenti sono bigezioni naturali:
$A/{-=} -> G(n,k) \ , \ [(v_1,...,v_k)]_{-=} -> Span(v_1,...,v_k)$
$A/{~=} -> G_or (n,k) \ , \ [(v_1,...,v_k)]_{~=} -> (Span(v_1,...,v_k),omega)$ dove $omega$ è l'orientazione definita da $(v_1,...,v_k)$.
Quindi le due grassmanniane (orientata e non orientata) acquisiscono tramite queste due bigezioni la topologia dei due spazi quozienti di $A$.
Dimostrare che:
1) con le due topologie definite sopra $G(n,k) \ , \ G_or (n,k)$ sono spazi compatti di Haussdorf
2) la mappa $p: G_or (n,k) -> G(n,k) \ , \ (V,omega) -> V$ che dimentica l'orientazione è un rivestimento di grado $2$.
Sia ora $S$ una $C^1$-superficie di dimensione $k$ in $RR^n$; sia
$tau : S -> G(n,k) \ , \ x -> Tan(S,x)$ che associa ad ogni punto di $S$ il corrispondente spazio tangente.
Dimostrare che:
3) $tau$ è un'applicazione continua.
Def: Una superficie si dice orientabile se su ogni spazio tangente possiamo scegliere un'orientazione in modo continuo, cioè se esiste $sigma : S -> G_or (n,k)$ continua tale che $p circ sigma = tau$, cioè se esiste un sollevamento di $tau$ rispetto al rivestimento $p$.
Dal teorema di sollevamento è noto che un tale sollevamento esiste se e solo se $tau_* ( pi_1 (S)) \subseteq p_* (pi_1 (G_or(n,k)) )$
Quindi ad esempio una superficie semplicemente connessa è sempre orientabile. Mi chiedevo quali fossero i gruppi fondamentali delle due Grassmanniane.
Risposte
1), 2) sono riuscito a farle.
Qualcuno ha qualche idea di come si possa dimostrare 3) e quali siano i gruppi fondamentali delle Grassmanniane?
Qualcuno ha qualche idea di come si possa dimostrare 3) e quali siano i gruppi fondamentali delle Grassmanniane?
Per il 3 io proverei a dimostrare che è continua la funzione $\gamma : S \to A$, che equivale a richiedere la continuità delle funzioni coordinate. A questo punto hai la continuità anche di $\tau$ perché composizione di funzioni continue ($\gamma$ e la proiezione).
"apatriarca":
Per il 3 io proverei a dimostrare che è continua la funzione $\gamma : S \to A$, che equivale a richiedere la continuità delle funzioni coordinate. A questo punto hai la continuità anche di $\tau$ perché composizione di funzioni continue ($\gamma$ e la proiezione).
Capisco cosa vorresti fare; ma non capisco cosa sia la tua $gamma$: a ogni punto della superficie $S$ è associato un $k$-sottospazio vettoriale di $RR^n$ e non una $k$-upla di vettori linearmente indipendenti in modo canonico.
Inoltre se una tale $gamma : S \to A$ esistesse, allora componendo $gamma$ con la proiezione $A to G_or$ otterrei un sollevamento di $tau$ e quindi avrei che $S$ è orientabile; ma questo è falso in generale perché non tutte le superfici sono orientabili (Nastro di Moebius)
In effetti ho risposto un po' di fretta, senza pensarci molto. 
Secondo me devi definire esplicitamente la mappa. La mia idea è quella di scegliere una parametrizzazione (locale) della varietà e definire una mappa $\gamma : U_P \to A$ sfruttando questa parametrizzazione. A questo punto si deve far vedere che prese due mappe $\gamma_1$ e $\gamma_2$ così definite, $\gamma_1(P) -= \gamma_2(P)$.
Secondo me devi definire esplicitamente la mappa. La mia idea è quella di scegliere una parametrizzazione (locale) della varietà e definire una mappa $\gamma : U_P \to A$ sfruttando questa parametrizzazione. A questo punto si deve far vedere che prese due mappe $\gamma_1$ e $\gamma_2$ così definite, $\gamma_1(P) -= \gamma_2(P)$.
Secondo me non si può fare.
Sia $S$ una $k$-superficie di classe $C^1$ in $RR^n$; sia $P in S$ e siano per $i=1,2$ $phi_i : Omega_i \to S$ (dove $Omega_i$ è un aperto di $RR^k$) due parametrizzazioni locali di un intorno di $P$ in $S$;
Allora $Tan(S,x) = Span ( \frac{partial phi_1}{partial u_i} )_{i=1,...,k} = Span ( \frac{partial phi_2}{partial u_i} )_{i=1,...,k}$, ma sono diverse le due $k$-uple:
$( \frac{partial phi_1}{partial u_i} )_{i=1,...,k} \ , \ ( \frac{partial phi_2}{partial u_i} )_{i=1,...,k}$
Sia $S$ una $k$-superficie di classe $C^1$ in $RR^n$; sia $P in S$ e siano per $i=1,2$ $phi_i : Omega_i \to S$ (dove $Omega_i$ è un aperto di $RR^k$) due parametrizzazioni locali di un intorno di $P$ in $S$;
Allora $Tan(S,x) = Span ( \frac{partial phi_1}{partial u_i} )_{i=1,...,k} = Span ( \frac{partial phi_2}{partial u_i} )_{i=1,...,k}$, ma sono diverse le due $k$-uple:
$( \frac{partial phi_1}{partial u_i} )_{i=1,...,k} \ , \ ( \frac{partial phi_2}{partial u_i} )_{i=1,...,k}$
Bhe... ma l'importante è che siano uguali in $G(n, k)$ per risolvere il tuo problema, è ovvio che cambiando parametrizzazione cambia l'immagine in $A$, ma rimane comunque invariata la sua immagine in $G(n,k)$ quando composta con la proiezione. Che è quello che ti serve. Perché tutte queste mappe da $S$ a $G(n,k)$ sono continue e uguali tra di loro e quindi hai ottenuto la tua mappa indipendente dalla parametrizzazione.
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