Superfici orientabili

[emmeffe90]

Salve a tutti.
Spulciando tra i miei appunti, mi sono ritrovato di fronte a questa affermazione non dimostrata:
"Ogni superficie compatta è orientabile".
È plausibile? Io direi di no: come controesempio mi viene in mente il nastro di Moebius, compatto e non orientabile... ma magari c'è qualcosa che mi sfugge...
Ringrazio in anticipo chi mi toglierà il dubbio

[Paolo902]

Forse, questo ti può essere utile.

[maurer]

Alt! Il nastro di Moebius non è una superficie compatta regolare. Nel senso che se lo prendiamo chiuso, allora è compatto, ma ha anche il bordo, mentre se lo prendiamo aperto, allora non è compatto!

[emmeffe90]

Quindi è il bordo che mi fa saltare tutto... Giusto?

[maurer]

Beh, sì. Non conosco i dettagli di quella dimostrazione, ma di sicuro si dovranno utilizzare gli atlanti. C'è una differenza sostanziale tra atlanti ed atlanti con bordo, quindi è naturale aspettarsi delle differenze nei risultati!

[emmeffe90]

Ti ringrazio della delucidazione! In effetti ero abituato a considerare il nastro di Moebius come quoziente del quadrato unitario, quindi compatto ma con il bordo...

[vict85]

"emmeffe90":Salve a tutti.
Spulciando tra i miei appunti, mi sono ritrovato di fronte a questa affermazione non dimostrata:
"Ogni superficie compatta è orientabile".
È plausibile? Io direi di no: come controesempio mi viene in mente il nastro di Moebius, compatto e non orientabile... ma magari c'è qualcosa che mi sfugge...
Ringrazio in anticipo chi mi toglierà il dubbio

Come superficie intendi una 2-varietà regolare immersa in \(\mathbf{R}^3\) immagino. Sappi che comunque il teorema equivalente è "Ogni 2-varietà non orientabile e compatta non può essere immersa in \(\mathbb{R}^3\) senza autointersezioni. Esempi di varietà differenzialii di dimensione 2, compatte, senza bordo e non orientabili sono il piano proiettivo e la bottiglia di Klein.

[emmeffe90]

"vict85":Come superficie intendi una 2-varietà regolare immersa in \(\mathbf{R}^3\) immagino. Sappi che comunque il teorema equivalente è "Ogni 2-varietà non orientabile e compatta non può essere immersa in \(\mathbb{R}^3\) senza autointersezioni. Esempi di varietà differenzialii di dimensione 2, compatte, senza bordo e non orientabili sono il piano proiettivo e la bottiglia di Klein.

Si, le superfici le intendo immerse in \(\mathbf{R}^3\).
Ad ogni modo, ringrazio tutti per le vostre risposte

[vict85]

"maurer":Beh, sì. Non conosco i dettagli di quella dimostrazione, ma di sicuro si dovranno utilizzare gli atlanti. C'è una differenza sostanziale tra atlanti ed atlanti con bordo, quindi è naturale aspettarsi delle differenze nei risultati!

Non ho mai letto la dimostrazione ma penso possa essere una dimostrazione prevalentemente topologica. All'atto pratico penso che sia sufficiente dimostrare che il teorema vale per il piano proiettivo e poi usare il teorema di struttura delle superfici compatte e usare l'induzione sul genere della superficie.

http://en.wikipedia.org/wiki/Surface#Cl ... d_surfaces