Superfici , geometria differenziale

[Seneca1]

Proposizione 1: Sia $phi : U -> RR^3$ una superficie immersa, con $U subseteq RR^2$ aperto. Allora $AA (u_0 , v_0) in U$ esistono:

- un intorno aperto $Omega subseteq RR^3$ di $(u_0 , v_0 , 0) in U times RR$

- un intorno aperto $W subseteq RR^3$ di $phi (u_0 , v_0)$

- e un diffeomorfismo $G : Omega-> W$ tale che $G( u ,v , 0 ) = phi (u, v)$ , $AA (u,v,0) in Omega nn ( U times {0} )$.

Proposizione 2: Sia $phi : U -> RR^3$ una superficie immersa. Allora ogni punto $(u_0 , v_0) in U$ ha un intorno $U_1 subseteq U$ tale che
$phi_{|U_1} = G_{|U_1 times {0} }$ sia un omeomorfismo con l'immagine.

Queste due proposizioni mi dicono che se io ho una superficie immersa $phi$, allora posso "frammentare" $U$ in $U_1 , ... , U_k$ e considerare le restrizioni di $phi$ a questi aperti in modo tale che la superficie sia una superficie regolare?
Cioè riuscirei a costruire un atlante della superficie?

I due risultati si trovano qui.

La definizione di superficie regolare che ho adottato è qualche pagina più avanti.

[ciampax]

Non vorrei sbagliare, ma continuando a leggere mi pare che vengano dimostrati questi due fatti proprio per arrivare alla costruzione di un atlante regolare. In ogni caso la risposta è sì: quello che viene fatto, in pratica, è costruire, tramite i due risultati precedenti, un atlante "ad hoc" su cui valga la proprietà di "incollamento" delle mappe (sostanzialmente, per come sono definite, le restrizioni agli aperti sono le coordinate su ogni singolo aperto=carta).

[Seneca1]

Grazie Ciampax...

[Alexp1]

in altre parole la definizione di superficie regolare che viene adottata è che l'applicazione $\varphi$ sia un embedding.