Superfici e curve regolari
Salve, scrivo per chiedere una cosa che forse a molti sarà nota ma purtroppo nel mio corso è stata affrontata solo in via teorica (e con due misere definizioni) ed approssimativa(però poi le chiedono!!!). Vorrei che qualcuno mi sapesse rispondere alle domande che porrò di seguito, perchè non so veramente dove sbattere la testa... 
Domanda 1: Come faccio operativamente a dimostrare che una curva è regolare?
Domanda 2: Come faccio operativamente a dimostrare che una superficie è regolare?
Domanda 3: Come faccio operativamente a trovare una parametrizzazione di una superficie che la renda regolare?
Grazie mille a chi mi aiuterà
Domanda 1: Come faccio operativamente a dimostrare che una curva è regolare?
Domanda 2: Come faccio operativamente a dimostrare che una superficie è regolare?
Domanda 3: Come faccio operativamente a trovare una parametrizzazione di una superficie che la renda regolare?
Grazie mille a chi mi aiuterà
Risposte
[mod="Alexp"]
Ho spostato qui in "geometria"
[/mod]
Ho spostato qui in "geometria"
[/mod]
Dipende da cosa intendi per regolare; anche una funzione continua potrebbe essere regolare. In genere si usa il termine regolare e basta quando si sottintende che verifica la regolarità sufficiente per tutti i conti che si faranno.
Per esperienza personale posso dirti che in geometria differenziale, generalmente con il termine "superficie regolare", si intende una superficie differenziabile, ossia una varietà topologica di dimensione 2 nella quale i cambiamenti di carte sono funzioni di classe $C^k$ con $k>=1$, ma ciò non vieta che in altri casi per superficie regolare si possa intendere una superficie liscia, ossia di classe $C^infty$....per esempio nel libro che sto scrivendo in collaborazione con Luca Lussardi ed Arrigo Amadori, per superficie regolare abbiamo sottointeso che l'applicazione sia un diffeomorfismo locale.
Per esperienza personale posso dirti che in geometria differenziale, generalmente con il termine "superficie regolare", si intende una superficie differenziabile, ossia una varietà topologica di dimensione 2 nella quale i cambiamenti di carte sono funzioni di classe $C^k$ con $k>=1$, ma ciò non vieta che in altri casi per superficie regolare si possa intendere una superficie liscia, ossia di classe $C^infty$....per esempio nel libro che sto scrivendo in collaborazione con Luca Lussardi ed Arrigo Amadori, per superficie regolare abbiamo sottointeso che l'applicazione sia un diffeomorfismo locale.
Proviamo a capirci con un esercizio tipo che mi viene assegnato e con le definizioni che ho, a me interessa sapere cosa occorre verificare in un esercizio per dire che una superficie o una curva sia regolare o meno.
Le definizioni che mi vengono date sono:
Una curva regolare è data da una coppia $(\gamma,r)$ dove: $\gamma$ è un sottoinsieme dello spazio"fisico"$RR^3$ $\gamma sub RR^3$, ; r è una funzione di classe $C^1$ con dominio un intervallo $[a,b] sub RR$ e immagine l'insieme $\gamma$, tale che $||r(t)'!=0||$per ogni $t(a,b)$. ecc ecc...
Una superficie regolare è data da una coppia $(\sum,r)$ dove: $\sum$ è un sottoinsieme dello spazio"fisico"$RR^3$ $\sum sub RR^3$, ; r è una funzione di classe $C^1$ con dominio un insieme $K sub RR^2 sub RR$ e immagine l'insieme $\sum$, iniettiva sulla parte interna di $K$,int$K,$ e tale che il differenziale $dr(u,v)$ sia un applicazione lineare di rango due per ogni $(u,v) in $int$K$
Esercizio 1:
Dato l'insieme $\sum={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2+z^2-2z=0}$ dire se $\sum$ è una superficie regolare e calcolarne l'area
Esercizio 2:
Data la curva $r(t)=(t,t^2,sint)$ $tin[-2pi,2pi]$ dire se è una curva regolare, e se è chiusa e/o semplice
Questi sono quesiti tipo che mi vengono posti, non ho problemi nella trattazione teorica ma quando vado a fare esercizi di questo tipo non riesco ad andare avanti perché non mi sono stati fatti esempi pratici.
Grazie per l'aiuto
Le definizioni che mi vengono date sono:
Una curva regolare è data da una coppia $(\gamma,r)$ dove: $\gamma$ è un sottoinsieme dello spazio"fisico"$RR^3$ $\gamma sub RR^3$, ; r è una funzione di classe $C^1$ con dominio un intervallo $[a,b] sub RR$ e immagine l'insieme $\gamma$, tale che $||r(t)'!=0||$per ogni $t(a,b)$. ecc ecc...
Una superficie regolare è data da una coppia $(\sum,r)$ dove: $\sum$ è un sottoinsieme dello spazio"fisico"$RR^3$ $\sum sub RR^3$, ; r è una funzione di classe $C^1$ con dominio un insieme $K sub RR^2 sub RR$ e immagine l'insieme $\sum$, iniettiva sulla parte interna di $K$,int$K,$ e tale che il differenziale $dr(u,v)$ sia un applicazione lineare di rango due per ogni $(u,v) in $int$K$
Esercizio 1:
Dato l'insieme $\sum={(x,y,z) in RR^3 : x^2+y^2+z^2-2z=0}$ dire se $\sum$ è una superficie regolare e calcolarne l'area
Esercizio 2:
Data la curva $r(t)=(t,t^2,sint)$ $tin[-2pi,2pi]$ dire se è una curva regolare, e se è chiusa e/o semplice
Questi sono quesiti tipo che mi vengono posti, non ho problemi nella trattazione teorica ma quando vado a fare esercizi di questo tipo non riesco ad andare avanti perché non mi sono stati fatti esempi pratici.
Grazie per l'aiuto
Esercizio 2
Una curva si dice regolare se $ hat r(t) in C^1(I) $ e $hat r'(t) ne hat 0 $ [altrimenti non sarebbe definita la tangente alla curva].
$hat r(t)=( t,t^2, sin t ) ;I=[-2pi,2pi] $ : $ hat r'(t) =( 1,2t,cos t ) $non si annulla mai nell'intervallo I e quindi unitao al fatto che $ hat r(t) in C^1 $ la curva è regolare.
Chiusa - se ritorna allo stesso punto di partenza : lo è se $hat r(-2pi)=hat r(2pi) $: non è chiusa.
Semplice : ( non deve intrecciarsi ) se $t_1 ne t_2 rarr hat r(t_1) ne hat r(t_2) $: è semplice .
Una curva si dice regolare se $ hat r(t) in C^1(I) $ e $hat r'(t) ne hat 0 $ [altrimenti non sarebbe definita la tangente alla curva].
$hat r(t)=( t,t^2, sin t ) ;I=[-2pi,2pi] $ : $ hat r'(t) =( 1,2t,cos t ) $non si annulla mai nell'intervallo I e quindi unitao al fatto che $ hat r(t) in C^1 $ la curva è regolare.
Chiusa - se ritorna allo stesso punto di partenza : lo è se $hat r(-2pi)=hat r(2pi) $: non è chiusa.
Semplice : ( non deve intrecciarsi ) se $t_1 ne t_2 rarr hat r(t_1) ne hat r(t_2) $: è semplice .
"Camillo":
Esercizio 2
Una curva si dice regolare se $ hat r(t) in C^(I) $ e $hat r'(t) ne hat 0 $ [altrimenti non sarebbe definita la tangente alla curva].
$hat r(t)=( t,t^2, sin t ) ;I=[-2pi,2pi] $ : $ hat r'(t) =( 1,2t,cos t ) $non si annulla mai nell'intervallo I e quindi unitao al fatto che $ hat r(t) in C^1 $ la curva è regolare.
Chiusa - se ritorna allo stesso punto di partenza : lo è se $hat r(-2pi)=hat r(2pi) $: non è chiusa.
Semplice : ( non deve intrecciarsi ) se $t_1 ne t_2 rarr hat r(t_1) ne hat r(t_2) $: è semplice .
E' così semplice?
Maledetto a chi so io....
Grazie mille per l'aiuto
Adesso mi manca la superficie e sono a posto
Una superficie $S:RR^2->RR^3$ è regolare (sempre nel senso generale, poi dipende dal contesto come ti ho accennato sopra) se la matrice jacobiana è di rango massimo costante (ossia $2$), mentre per superfici espresse scalarmente, $S:RR^2->R$, la regolarità si traduce in: vettore gradiente non nullo!
Se non si verificano queste condizioni hai problemi nel definire lo spazio tg e quindi non sarà regolare o la superficie o la parametrizzazione utilizzata. ciao
Se non si verificano queste condizioni hai problemi nel definire lo spazio tg e quindi non sarà regolare o la superficie o la parametrizzazione utilizzata. ciao
"Alexp":
Una superficie $S:RR^2->RR^3$ è regolare (sempre nel senso generale, poi dipende dal contesto come ti ho accennato sopra) se la matrice jacobiana è di rango massimo costante (ossia $2$), mentre per superfici espresse scalarmente, $S:RR^2->R$, la regolarità si traduce in: vettore gradiente non nullo!
Se non si verificano queste condizioni hai problemi nel definire lo spazio tg e quindi non sarà regolare o la superficie o la parametrizzazione utilizzata. ciao
In pratica se la superficie è espressa con equazione cartesiana(come nell'esercizio 1) devo verificare che il gradiente non si annulli, mentre se ho una superficie parametrizzata devo scrivere la matrice jacobiana e verificare che il rango massimo sia 2 giusto?
Yes 
@ marcook : quindi la superficie 1 è regolare ? dove ? che superficie rappresenta quella equazione ? 
Devo rettificare perchè per la fretta ho preso una svista.... 
sorry!
Una superficie espressa scalarmente è regolare se ammette in ogni suo punto spazio tangente, il che significa che è una superficie differenziabile....il fatto che una superficie abbia in un punto il gradiente nullo non vuol dir nulla, infatti il gradiente nullo ci indica che siamo su un punto singolare, ma la superficie può comunque essere regolare!
Dunque per verificare se una superficie espressa scalarmente è regolare bisogna verificare che sia differenziabile!
Sai come si fa a verificare la differenziabilità?
sorry!Una superficie espressa scalarmente è regolare se ammette in ogni suo punto spazio tangente, il che significa che è una superficie differenziabile....il fatto che una superficie abbia in un punto il gradiente nullo non vuol dir nulla, infatti il gradiente nullo ci indica che siamo su un punto singolare, ma la superficie può comunque essere regolare!
Dunque per verificare se una superficie espressa scalarmente è regolare bisogna verificare che sia differenziabile!
Sai come si fa a verificare la differenziabilità?
Scusate se vi rispondo in ritardo ma non mi sono arrivate le notifiche sulla mail 
Già infatti in un intorno di un punto singolare il piano tangente c'è...!
Per dimostrare la differenziabilità mi è stata data una condizione necessaria e sufficiente nel corso di Analisi II:
"Se una funzione ha derivate parziali in un intorno di Po ed almeno una di esse è continua in Po allora f è differenziabile in Po"
E' giusto?
Quando mi risponde Alexp lo dico
"Alexp":
Devo rettificare perchè per la fretta ho preso una svista.... sorry!
Una superficie espressa scalarmente è regolare se ammette in ogni suo punto spazio tangente, il che significa che è una superficie differenziabile....il fatto che una superficie abbia in un punto il gradiente nullo non vuol dir nulla, infatti il gradiente nullo ci indica che siamo su un punto singolare, ma la superficie può comunque essere regolare!
Dunque per verificare se una superficie espressa scalarmente è regolare bisogna verificare che sia differenziabile!
Sai come si fa a verificare la differenziabilità?
Già infatti in un intorno di un punto singolare il piano tangente c'è...!
Per dimostrare la differenziabilità mi è stata data una condizione necessaria e sufficiente nel corso di Analisi II:
"Se una funzione ha derivate parziali in un intorno di Po ed almeno una di esse è continua in Po allora f è differenziabile in Po"
E' giusto?
"Camillo":
@ marcook : quindi la superficie 1 è regolare ? dove ? che superficie rappresenta quella equazione ?
Quando mi risponde Alexp lo dico
Determinare il piano di E^3 passante per il punto P(-2, 2, 1) e perpendicolare alla retta di equazioni cartesiane: [2x - y +2z +1 =0 ; x + 2y -z -2=0].
Cortesemente mi servirebbe un procedimento pratico per la risoluzione di questo ex. Grazie anticipatamente.
Cortesemente mi servirebbe un procedimento pratico per la risoluzione di questo ex. Grazie anticipatamente.
Ciao "marcook",
no purtroppo non è corretto...una condizione sufficiente, ma non necessaria è che le due derivate parziali siano continue!
no purtroppo non è corretto...una condizione sufficiente, ma non necessaria è che le due derivate parziali siano continue!
"Alexp":
Ciao "marcook",
no purtroppo non è corretto...una condizione sufficiente, ma non necessaria è che le due derivate parziali siano continue!
Cioè si fa così ad esempio http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Esercizi/EserciziSuperficie/G51Esercizio.htm giusto?
La condizione necessaria da verificare affinchè una funzione scalare di due variabili sia differenziabile è:
$lim_(x,y->0) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
Per il th del differenziale totale, se le derivate parziali sono continue allora sicuramente l'uguaglianza è verificata, ma questa uguaglianza potrebbe verificarsi comunque...ecco perchè ti dicevo che la condizione di avere le derivate parziali continue è sufficiente, ma non necessaria.
Comunque tieni a mente che non troverai mai una definizione univoca di superficie regolare, perchè questo dipende sempre da cosa devi "farci"....se i tuoi calcoli si spingessero, per esempio, a calcolare la curvatura, allora per regolarità può bastarti che la funzione in esame sia di classe $C^2$.
$lim_(x,y->0) (f(x+x_0, y+y_0)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0))/(sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2))=0$
Per il th del differenziale totale, se le derivate parziali sono continue allora sicuramente l'uguaglianza è verificata, ma questa uguaglianza potrebbe verificarsi comunque...ecco perchè ti dicevo che la condizione di avere le derivate parziali continue è sufficiente, ma non necessaria.
Comunque tieni a mente che non troverai mai una definizione univoca di superficie regolare, perchè questo dipende sempre da cosa devi "farci"....se i tuoi calcoli si spingessero, per esempio, a calcolare la curvatura, allora per regolarità può bastarti che la funzione in esame sia di classe $C^2$.
Io avrò a che fare con superfici del tipo $S=(x,y,x)in RR^3: x^2+y^2+2z^2-2z=0$ oppure $S=(x,y,x)in RR^3: x^2+y^2-z^4=0$ oppure $r:Krarr RR^3 r(u,v) =(u^2+v^2)i+(2uv)j+(u-v)k$ con $K= (u,v)in RR^2 : u>=0,v>=0,u+v<=3$
Si dimostra (come infatti ora mi fai ricordare
) per forza passando da quel limite se le derivate parziali non risultano continue nell'insieme che sto considerando, altrimenti se esse sono continue allora è sufficiente giusto?
Nell'ultimo caso ad esempio, con superficie parametrizzata in funzione di u e v il discorso è lo stesso?
Si dimostra (come infatti ora mi fai ricordare
) per forza passando da quel limite se le derivate parziali non risultano continue nell'insieme che sto considerando, altrimenti se esse sono continue allora è sufficiente giusto?Nell'ultimo caso ad esempio, con superficie parametrizzata in funzione di u e v il discorso è lo stesso?
Beh, sicuramente se quel limite non tende a zero allora le derivate parziali non sono continue....se invece ti calcoli le derivate parziali e riscontri che sono continue, allora hai una condizione sufficiente per dire che la funzione è differenziabile.
Si, nell'ultimo caso la cosa (scusa il gioco di parole) non cambia, per dire che una superficie sia differenziabile devi sempre verificare che le funzioni che parametrizzano siano differenziabili....anche qui se trovi che le funzioni che fanno il cambiamento di coordinate sono di classe $C^1$, allora hai una condizione sufficiente per dire che la superficie è differenziabile.
Si, nell'ultimo caso la cosa (scusa il gioco di parole) non cambia, per dire che una superficie sia differenziabile devi sempre verificare che le funzioni che parametrizzano siano differenziabili....anche qui se trovi che le funzioni che fanno il cambiamento di coordinate sono di classe $C^1$, allora hai una condizione sufficiente per dire che la superficie è differenziabile.
Capito grazie mille!
Un'ultima domanda:
quando mi viene proposto un esercizio del genere:
Dato l'insieme $S={(x,y,x)inRR^3 : (x-1)^2+y^2/4+z^2/9=1}$
1. Trovare una parametrizzazione che rende S una superficie regolare
2.Scrivere l'equazione parametrica del piano tangente a S nel punto $P=(1/2,sqrt(3),0)$
3.Trovare almeno un punto di S il cui piano tangente è ortogonale alla retta
1.La parametrizzazione di S è $r(\theta,\varphi)=(1+cos\theta cos\varphi)i+(2cos\thetasin\varphi)j+(3sin\theta)j$ con $\theta in[-pi/2,+pi/2]$ e $\varphi in [0,2pi]$
Adesso per far si che la mia parametrizzazione renda S una superficie regolare mi rimane difficile da capire.... Cioè devo dimostrare che la mia parametrizzazione è regolare?
2.Per il piano tangente:
$f'x=2(x-1)$ $f'y=y/2$ $f'z=2z/9$ $f(p)= (-1/2)^2+3/4-1=0$
$T=0+2(-1/2)(x-1/2)+sqrt(3)/2(y-sqrt(3)+0)=-x+sqrt(3)/2y-1$
Ora questa è l'equazione cartesiana, l'esercizio mi chiede la parametrica:
$\{(x=sqrt(3)/2t-1),(y=t):}$
Dimmi se per caso ho fatto qualche errore
3.Trovare almeno un punto di S il cui piano tangente è ortogonale alla retta
Questo non riesco a capire bene come procedere....
Mi verrebbe in mente di prendere il vettore del piano tangente,che è perpendicolare alla superficie S, ed il vettore della retta che per risolvere l'esercizio deve essere parallelo a quello del piano. Tale condizione potrebbe essere posta con il prodotto vettoriale che deve essere nullo....che ne dici??
Grazie mille
Un'ultima domanda:
quando mi viene proposto un esercizio del genere:
Dato l'insieme $S={(x,y,x)inRR^3 : (x-1)^2+y^2/4+z^2/9=1}$
1. Trovare una parametrizzazione che rende S una superficie regolare
2.Scrivere l'equazione parametrica del piano tangente a S nel punto $P=(1/2,sqrt(3),0)$
3.Trovare almeno un punto di S il cui piano tangente è ortogonale alla retta
1.La parametrizzazione di S è $r(\theta,\varphi)=(1+cos\theta cos\varphi)i+(2cos\thetasin\varphi)j+(3sin\theta)j$ con $\theta in[-pi/2,+pi/2]$ e $\varphi in [0,2pi]$
Adesso per far si che la mia parametrizzazione renda S una superficie regolare mi rimane difficile da capire....
Cioè devo dimostrare che la mia parametrizzazione è regolare?2.Per il piano tangente:
$f'x=2(x-1)$ $f'y=y/2$ $f'z=2z/9$ $f(p)= (-1/2)^2+3/4-1=0$
$T=0+2(-1/2)(x-1/2)+sqrt(3)/2(y-sqrt(3)+0)=-x+sqrt(3)/2y-1$
Ora questa è l'equazione cartesiana, l'esercizio mi chiede la parametrica:
$\{(x=sqrt(3)/2t-1),(y=t):}$
Dimmi se per caso ho fatto qualche errore
3.Trovare almeno un punto di S il cui piano tangente è ortogonale alla retta
Questo non riesco a capire bene come procedere....
Mi verrebbe in mente di prendere il vettore del piano tangente,che è perpendicolare alla superficie S, ed il vettore della retta che per risolvere l'esercizio deve essere parallelo a quello del piano. Tale condizione potrebbe essere posta con il prodotto vettoriale che deve essere nullo....che ne dici??
Grazie mille
"marcook":
1.La parametrizzazione di S è $r(\theta,\varphi)=(1+cos\theta cos\varphi)i+(2cos\thetasin\varphi)j+(3sin\theta)j$ con $\theta in[-pi/2,+pi/2]$ e $\varphi in [0,2pi]$
Adesso per far si che la mia parametrizzazione renda S una superficie regolare mi rimane difficile da capire....
Dipende sempre da cosa si intende per regolarità...il libro di testo su cui studi o su cui hai tratto l'esercizio, che definizione da di superficie regolare? se per regolarità si intende la differenziabilità devi verificare che le funzioni che hai scritto siano differenziabili.
"marcook":
2.Per il piano tangente:
$f'x=2(x-1)$ $f'y=y/2$ $f'z=2z/9$ $f(p)= (-1/2)^2+3/4-1=0$
$T=0+2(-1/2)(x-1/2)+sqrt(3)/2(y-sqrt(3)+0)=-x+sqrt(3)/2y-1$
Ora questa è l'equazione cartesiana, l'esercizio mi chiede la parametrica:
$\{(x=sqrt(3)/2t-1),(y=t):}$
Dimmi se per caso ho fatto qualche errore
Non ho fatto tutti i calcoli, ma così ad occhio mi sembra tutto corretto.
"marcook":
3.Trovare almeno un punto di S il cui piano tangente è ortogonale alla retta
Questo non riesco a capire bene come procedere....
Scusa, ma a che retta ci si sta riferendo?
Ho degli appunti del professore non un libro di testo...comunque credo si intenda la differenziabilità perché questa è la definizione che ho :Una superficie regolare è data da una coppia $(\sum,r)$ dove: $\sum$ è un sottoinsieme dello spazio"fisico"$RR^3$ $\sum sub RR^3$, ; r è una funzione di classe $C^1$ con dominio un insieme $K sub RR^2 sub RR$ e immagine l'insieme $\sum$, iniettiva sulla parte interna di $K$,int$K,$ e tale che il differenziale $dr(u,v)$ sia un applicazione lineare di rango due per ogni $(u,v) in $int$K$
Beh non sai dirmi a che retta mi riferisco perchè mi sono dimenticato di scriverla
La retta alla quale mi riferisco nel quesito 3 è:
$\{(sqrt(3)/2x+y=0),(z=0):}$
Beh non sai dirmi a che retta mi riferisco perchè mi sono dimenticato di scriverla
La retta alla quale mi riferisco nel quesito 3 è:
$\{(sqrt(3)/2x+y=0),(z=0):}$
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