Superfici di rotazione
ciao a tutti ragazzi non riesco a risolvere la superficie di rotazione in particolare punto b dell esercizio che vi allego , datemi una dritta come si svolge??
http://img26.imageshack.us/img26/346/img053bm2.jpg
ciao claudia
http://img26.imageshack.us/img26/346/img053bm2.jpg
ciao claudia
Risposte
1) Si considera un qualunque punto T di s e si determina il piano $pi$ passante per T
e per r.Se tale piano contiene anche s ( ovvero se la sua equazione
è identicamente soddisfatta dalle equazioni di s ) allora r ed s sono complanari.
Nel caso nostro possiamo prendere come punto T il punto T(1,-1,1) e d'altra parte la retta r
appartiene al fascio di equazione $lambda(x-z-1)+muy=0$
Imponendo il passaggio per T si ha $mu=-lambda$ e dunque l'equazione di $pi$ è:
$x-y-z-1=0$
Sostituendo in essa le equazioni di s si ha la relazione $z-1=0$ che non è una identità.
Pertanto le due rette r ed s sono sghembe.
2) Premetto che il vettore direzionale di r è $(1,0,1)$ .Ciò detto ,per avere quanto
richiesto occorrono i seguenti passi:
i1) Si considera il generico punto S di s: $S(t,-t,t)$ e si determina il piano $sigma$ passante
per S e perpendicolare ad r:
$1(x-t)+0(y+t)+1(z-t)=0$ ovvero $x+z-2t=0$
i2) Si determina l'intersezione C di tale piano con r risolvendo il sistema:
${(x+z-2t=0),(y=0),(z=x-1):}$
che fornisce il punto $C(t+1/2,0,t-1/2)$
i3) Si calcola la distanza SC:
$SC=sqrt(t^2+1/2)$
i4) Si scrivono le equazioni della circonferenza di centro C e raggio SC ( e giacente nel piano $sigma$):
${(x+z-2t=0),((x-t-1/2)^2+y^2+(z-t+1/2)^2=t^2+1/2):}$
Evidentemente la superficie richiesta sarà l'insieme delle circonferenze di
questo tipo ,ottenute al variare di S su s ovvero al variare di t.
Per ottenerne l'equazione si dovrà allora eliminare la t dal sistema precedente.
Per $t=(x+z)/2$ si ottiene l'equazione della superficie :
$x^2+4y^2+z^2-6xz-4x+4z=0$
Si tratta di una quadrica da studiare eventualmente.
P.S.
Faccio presente che questo tipo di esercizio ammette vari procedimenti ,diversi
da Università ad Università e perfino tra prof dello stesso Ateneo ...
e per r.Se tale piano contiene anche s ( ovvero se la sua equazione
è identicamente soddisfatta dalle equazioni di s ) allora r ed s sono complanari.
Nel caso nostro possiamo prendere come punto T il punto T(1,-1,1) e d'altra parte la retta r
appartiene al fascio di equazione $lambda(x-z-1)+muy=0$
Imponendo il passaggio per T si ha $mu=-lambda$ e dunque l'equazione di $pi$ è:
$x-y-z-1=0$
Sostituendo in essa le equazioni di s si ha la relazione $z-1=0$ che non è una identità.
Pertanto le due rette r ed s sono sghembe.
2) Premetto che il vettore direzionale di r è $(1,0,1)$ .Ciò detto ,per avere quanto
richiesto occorrono i seguenti passi:
i1) Si considera il generico punto S di s: $S(t,-t,t)$ e si determina il piano $sigma$ passante
per S e perpendicolare ad r:
$1(x-t)+0(y+t)+1(z-t)=0$ ovvero $x+z-2t=0$
i2) Si determina l'intersezione C di tale piano con r risolvendo il sistema:
${(x+z-2t=0),(y=0),(z=x-1):}$
che fornisce il punto $C(t+1/2,0,t-1/2)$
i3) Si calcola la distanza SC:
$SC=sqrt(t^2+1/2)$
i4) Si scrivono le equazioni della circonferenza di centro C e raggio SC ( e giacente nel piano $sigma$):
${(x+z-2t=0),((x-t-1/2)^2+y^2+(z-t+1/2)^2=t^2+1/2):}$
Evidentemente la superficie richiesta sarà l'insieme delle circonferenze di
questo tipo ,ottenute al variare di S su s ovvero al variare di t.
Per ottenerne l'equazione si dovrà allora eliminare la t dal sistema precedente.
Per $t=(x+z)/2$ si ottiene l'equazione della superficie :
$x^2+4y^2+z^2-6xz-4x+4z=0$
Si tratta di una quadrica da studiare eventualmente.
P.S.
Faccio presente che questo tipo di esercizio ammette vari procedimenti ,diversi
da Università ad Università e perfino tra prof dello stesso Ateneo ...
ok grazie.
ascolta ma per due rette paralelele è posssibile definire un piano?
ascolta ma per due rette paralelele è posssibile definire un piano?
ok grazie.
ascolta ma per due rette parallele è posssibile definire un piano?se si come?
ascolta ma per due rette parallele è posssibile definire un piano?se si come?
è in po lungo il procedim. ma la sup. sarà una circonf per forza?
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