Sull'estensione proiettiva di uno spazio affine

[Bianco17]

Buongiorno a tutti! Alle porte dell'esame di Geometria Proiettiva sono stato assalito da un enorme dubbio circa la buona definizione dell'estensione proiettiva di uno spazio affine. Se diciamo \(\mathcal{A}_n\) uno spazio affine associato ad un $\mathbb{K}-$spazio vettoriale $V$ di dimensione \(n\in\mathbb{N}^*\), abbiamo definito la sua estensione proiettiva \(\mathcal{S}_n\) come l'unione disgiunta di \(\mathcal{A}\) stesso e il proiettivizzato \(\mathbb{P}(V)\) di $V$. Tutti i risultati in questi ambienti giocano moltissimo sul fatto che i punti propri (cioè di \(\mathcal{A}\)) siano ben distinti dai punti impropri (o all'infinito, cioè di \(\mathbb{P}(V)\)) pertanto mi chiedo se il fatto che \(\mathcal{A}\cap\mathbb{P}(V)=\emptyset\) sia una cosa da assumere per vera o si possa in qualche modo dedurre dalle fondamentali proprietà di spazi affini e proiettivi. Questo ovviamente non succede quando si estendono gli spazi affini numerici e in tanti altri esempi concreti (principe tra tutti è la costruzione di una struttura di spazio affine su \(\mathbb{P}(V)\) privato di un suo iperpiano scelto \(\mathbb{P}(H)\) in cui lo spazio vettoriale associato è proprio l'iperpiano $H\subset V$) ma, se penso in assoluta astrattezza, non trovo nulla che possa vietare ad \(\mathcal{A}\) di contenere elementi di $\mathbb{P}(V)$. In sostanza, vi chiedo se questa disgiunzione tra \(\mathcal{A}\) e \(\mathbb{P}(V)\) sia sempre garantita e, in tal caso, se si possa trovare per vie dimostrative o semplicemente mediante una definizione più precisa di quella che ci è stata data durante il corso. Grazie in anticipo a tutti, attendo vostri pareri

[megas_archon]

Forse quello che intendi è la chiusura proiettiva, non l'estensione...

[Bianco17]

Sì, l'abbiamo chiamata indistintamente in entrambi i modi, però non vorrei che ci si riferisca a concetti diversi. In ogni caso, ho girovagato su testi un po' più specialistici e ho trovato che una versione più formale di questa costruzione è legata allo spazio universale di uno spazio affine. Potrebbe essere effettivamente una possibile risposta al mio quesito?

[j18eos]

"Bianco17":Sì, l'abbiamo chiamata indistintamente in entrambi i modi, però non vorrei che ci si riferisca a concetti diversi. [...]

Io ho anche sentito dire "Completamento Proiettivo", giusto per abbondare...

Venendo alla tua domanda: i punti di \(\displaystyle\mathbb{A}\equiv\mathbb{A}_{\mathbb{K}}^n\) sono punti geometrici, mentre i punti di \(\displaystyle\mathbb{P}(\mathbb{K}^n)\) sono le direzioni delle rette in \(\displaystyle\mathbb{A}\), quindi si tratta di insiemi disgiunti lapalissianamente.

Ti trovi?

[Bianco17]

Certo, su questo esempio numerico non c'è dubbio. Il mio dubbio nasce quando consideriamo spazi affini e vettoriali su insiemi assolutamente generici di cui non sappiamo la natura degli elementi... Non so se mi sono spiegato meglio...

[j18eos]

Gli spazi vettoriali sono strutture algebriche ben definite, e richiedono un'operazione esterna avente per dominio operatoriale esterno un campo: quindi sono strutture molto forti!

Non penso che tu abbia studiato gli spazi affini non definiti su un campo: giusto?

Quindi qual è il tuo dubbio?

[Bianco17]

Abbiamo sempre definito uno spazio affine come una quaterna di oggetti: un insieme non vuoto \(\mathcal{A}\) (in teoria di qualsiasi natura), uno spazio vettoriale $V$ definito su un campo \(\mathbb{K}\), tale campo \(\mathbb{K}\) e l'applicazione \(f:\mathcal{A}\times\mathcal{A}\to V\) che associa ad ogni coppia di punti di \(\mathcal{A}\) un vettore di $V$ secondo gli assiomi di spazio affine. Il mio problema è che \(\mathcal{A}\) può essere una collezione di elementi qualsiasi e, pertanto, mi chiedo come possiamo essere certi che non possano farne parte elementi di \(\mathbb{P}(V)\) che, ovviamente, hanno un comportamento diverso se li si prende come punti di una struttura piuttosto che l'altra ma, in quanto elementi, rimangono sempre lo stesso ente figurando tanto in un insieme quanto nell'altro rendendo non vuota l'intersezione tra \(\mathcal{A}\) e \(\mathbb{P}(V)\).

[megas_archon]

Se il problema è solo questo... Dati due insiemi puoi sempre considerarli, senza perdita di generalità, a intersezione vuota.

Se $X,Y$ sono due insiemi, l'insieme \(X\amalg Y := (X\times \{0\})\cup (Y\times \{1\})\) è tale che

1. \(X\cong X'\subseteq X \amalg Y\), e \(Y\cong Y'\subseteq X\amalg Y\)
2. \(X'\cap Y'=\varnothing\).

[Bianco17]

Perfetto! Questa era una delle possibili risposte che mi ero dato: avrebbe senso fare questa unione disgiunta perché se anche ci fosse qualche elemento in comune tra i due insiemi comunque essi avrebbero "trattamenti" diversi a seconda del contesto in cui li si considera. D'altra parte, non credo che sia la cosa più formale da fare ma pur sempre una maniera logica e sensata (a parer mio) di risolvere il problema. Se qualcuno poi avesse altre opinioni al riguardo, attendo volentieri ulteriori considerazioni sull'argomento. Grazie ancora a tutti