Sulle cofibrazioni di spazi topologici
Notazioni. "Spazio" significa spazio compattamente generato, debolmente Hausdorff. $I=[0,1]$ è il sottospazio di $\mathbb R$ con la solita topologia; per ogni spazio $Y$, denotiamo $Y^I$ lo spazio di tutti i cammini $\gamma : I \to Y$ con la topologia compatta aperta. Denotiamo \(@_\epsilon : Y^I\to Y\) per $\epsilon=0,1$ la funzione continua che valuta un cammino nel suo punto iniziale/finale (più in generale, v. qui).
Diciamo che una mappa di spazi topologici \(i : A \to X\) è una cofibrazione se in ogni quadrato commutativo
\[
\begin{CD}
A @>u>> Y^I \\
@ViVV @VV@_0V \\
X @>>v> Y
\end{CD}
\] esiste una $\varphi : X \to Y^I$ tale che \(@_0 \circ \varphi=v\), $\varphi \circ i = u$, se $Y$ è un qualsiasi spazio.
1. Dimostrate che $i : A \to X$ è una cofibrazione se e solo se ogni omotopia $H_A : A\times I \to Y$ tra $f \circ i$ e un'altra mappa $g : A\to Y$ si riesce ad estendere a un'omotopia $H : X \times I \to Y$ tra $f$ e $f'$, per $f, f' : X\to Y$. In altre parole le cofibrazioni hanno la proprietà di estendere le omotopie.
2. Supponendo che il quadrato
\[
\begin{CD}
A @>i>> B \\
@VfVV @VVgV \\
C @>>j> D
\end{CD}
\] commuti a meno di una omotopia \(gi \simeq jf\), dimostrate che se $i$ è una cofibrazione, allora esiste $g' : B \to D$ tale che $g'i = jf$; in altre parole, se $i$ è una cofibrazione si può rimpiazzare ogni quadrato analogo a quello sopra, che commuta a meno di omotopia, con uno che commuta davvero.
2.bis. Supponendo che il quadrato
\[
\begin{CD}
A @>i>> B \\
@VfVV @VVgV \\
C @>>j> D
\end{CD}
\] sia un pushout, e che $i$ sia una cofibrazione, dimostrare che lo è $j$.
3. Mostrare che l'inclusione di $\mathbb Q$ in $\mathbb R$ non è una cofibrazione.
3.bis. Mostrare che se $i : A \to X$ è una cofibrazione, tale è anche $i\times Z : A\times Z \to X\times Z$ per ogni spazio $Z$.
4. Mostrare che le condizioni seguenti sono equivalenti:
i. $i : A \to X$ è una cofibrazione;
ii. l'inclusione \( P=(A\times I)\cup_{A} X \hookrightarrow X\times I\) ammette una retrazione $r : X\times I \to P$;
iii. $P$ è un retratto di deformazione forte di $X\times I$.
Per futura memoria, chiamiamo $(r_X,r_I) : X\times I\to X,I$ le componenti di questa retrazione. Si tratta di mappe continue il cui prodotto $r : X\times I\to P$ ristretto a $P$ ne sia l'identità, e tali per cui la composizione $ir$ sia omotopa all'identità di $X\times I$.
Una ulteriore caratterizzazione delle cofibrazioni è la seguente, dovuta a Strøm:
iv. $i : A \to X$ è una cofibrazione se e solo se esiste una funzione $\varphi : X \to I$ tale che $\varphi^{-1}(0)=A$, ed esiste un aperto $V$, $A \subseteq V \subseteq \varphi^{-1}[0,1[$ tale che $A\to U$ sia un retratto di deformazione forte.
(Sugg.: se $i$ è una cofibrazione, provare che
\(U = \{x\in X\mid r_X(x,1)\in A\}\) (nelle notazioni di sopra)
\(\varphi(x)=\sup_{s\in I}|s-r_I(x,s)|\)
soddisfano le condizioni della proposizione).
Diciamo che una mappa di spazi topologici \(i : A \to X\) è una cofibrazione se in ogni quadrato commutativo
\[
\begin{CD}
A @>u>> Y^I \\
@ViVV @VV@_0V \\
X @>>v> Y
\end{CD}
\] esiste una $\varphi : X \to Y^I$ tale che \(@_0 \circ \varphi=v\), $\varphi \circ i = u$, se $Y$ è un qualsiasi spazio.
1. Dimostrate che $i : A \to X$ è una cofibrazione se e solo se ogni omotopia $H_A : A\times I \to Y$ tra $f \circ i$ e un'altra mappa $g : A\to Y$ si riesce ad estendere a un'omotopia $H : X \times I \to Y$ tra $f$ e $f'$, per $f, f' : X\to Y$. In altre parole le cofibrazioni hanno la proprietà di estendere le omotopie.
2. Supponendo che il quadrato
\[
\begin{CD}
A @>i>> B \\
@VfVV @VVgV \\
C @>>j> D
\end{CD}
\] commuti a meno di una omotopia \(gi \simeq jf\), dimostrate che se $i$ è una cofibrazione, allora esiste $g' : B \to D$ tale che $g'i = jf$; in altre parole, se $i$ è una cofibrazione si può rimpiazzare ogni quadrato analogo a quello sopra, che commuta a meno di omotopia, con uno che commuta davvero.
2.bis. Supponendo che il quadrato
\[
\begin{CD}
A @>i>> B \\
@VfVV @VVgV \\
C @>>j> D
\end{CD}
\] sia un pushout, e che $i$ sia una cofibrazione, dimostrare che lo è $j$.
3. Mostrare che l'inclusione di $\mathbb Q$ in $\mathbb R$ non è una cofibrazione.
3.bis. Mostrare che se $i : A \to X$ è una cofibrazione, tale è anche $i\times Z : A\times Z \to X\times Z$ per ogni spazio $Z$.
4. Mostrare che le condizioni seguenti sono equivalenti:
i. $i : A \to X$ è una cofibrazione;
ii. l'inclusione \( P=(A\times I)\cup_{A} X \hookrightarrow X\times I\) ammette una retrazione $r : X\times I \to P$;
iii. $P$ è un retratto di deformazione forte di $X\times I$.
Per futura memoria, chiamiamo $(r_X,r_I) : X\times I\to X,I$ le componenti di questa retrazione. Si tratta di mappe continue il cui prodotto $r : X\times I\to P$ ristretto a $P$ ne sia l'identità, e tali per cui la composizione $ir$ sia omotopa all'identità di $X\times I$.
Una ulteriore caratterizzazione delle cofibrazioni è la seguente, dovuta a Strøm:
iv. $i : A \to X$ è una cofibrazione se e solo se esiste una funzione $\varphi : X \to I$ tale che $\varphi^{-1}(0)=A$, ed esiste un aperto $V$, $A \subseteq V \subseteq \varphi^{-1}[0,1[$ tale che $A\to U$ sia un retratto di deformazione forte.
(Sugg.: se $i$ è una cofibrazione, provare che
\(U = \{x\in X\mid r_X(x,1)\in A\}\) (nelle notazioni di sopra)
\(\varphi(x)=\sup_{s\in I}|s-r_I(x,s)|\)
soddisfano le condizioni della proposizione).
Risposte
Ho visto che la sapete la topologia generale, no? Coraggio.
Dato che il problema m'interessa: cosa sono gli spazi debolmente di Hausdorff?
"j18eos":
Dato che il problema m'interessa: cosa sono gli spazi debolmente di Hausdorff?
Questa è la definizione, ma non è importante. E' una richiesta tecnica, rilevante solo per garantire che la categoria degli spazi è cartesiana chiusa. Anzi, ora che ci penso, questo mi ha dato un'idea per un topic. viewtopic.php?f=37&t=182511
Ho trovato del tempo per cimentarmi col punto 1, ma ci dev'essere un errore nelle notazioni...
Dimmi, dove?
Da punto 1: chi sono \(\displaystyle f\) ed \(\displaystyle f^{\prime}\)? Devo costruirle?
Viene detto, sono generiche funzioni continue $X\to Y$.
Le dimostriamo ste proprietà allora? 
Sapete mostrare direttamente che l'inclusione di $S^n$ in $D^{n+1}$ è una cofibrazione? Generalizzate all'inclusione di $X$ nel suo cono $CX$ e all'inclusione di $X$ nella sua sospensione \(\Sigma X = \frac{X\times [0,1]}{(X\times\{0\})\sqcup(X\times\{1\})}\).
Tentativo impacciato, ma magari qualcosa di giusto c'è. E poi non avevo mai disegnato un diagramma commutativo e adoro fare necroposting.
1. Per prima cosa l'omotopia tra $f \circ i$ e $g$, può essere anche vista come una mappa $H_A: A \to Y^I$ che manda $a \in A$ in un cammino di punto base $(f \circ i)(a)$ e punto finale $g(a)$ ovvero tale per cui $\text{@}_0 \circ H_A = (f \circ i)$ e $\text{@}_1 \circ H_A = g$; possiamo quindi ottenere il seguente diagramma commutativo.
\[
\begin{array}[c]{ccc}
A&\stackrel{H_A}{\longrightarrow}&Y^I\\
\big\downarrow\scriptstyle{i}&&\big\downarrow\scriptstyle{@_0}\\
X&\stackrel{f}{\longrightarrow}&D
\end{array}
\]
Ora, se $i$ è una cofibrazione abbiamo che in tale diagramma esiste una mappa $H: X \to Y^I$ tale che $H \circ i= H_A$ e $\text{@}_0 \circ H = f$. Resta da verificare che tale $H$ sia proprio l'omotopia tra $f$ ed $f'$. Questo vale perché $\text{@}_0 \circ H_A = \text{@}_0 \circ (H \circ i) = f \circ i$, dunque $\text{@}_0 \circ H_A = f$, mentre definiremo $f'$ come $\text{@}_1 \circ H: X \to Y$.
Viceversa, se l'omotopia $H_A$ può essere estesa ad $H: X \to Y^I$ omotopia tra funzioni $f, f': X \to Y$, è semplice verificare che $H \circ i= H_A$ e $\text{@}_0 \circ H = f$.
2. Il fatto che $gi$ e $jf$ siano omotope, implica l'esistenza di una mappa $K: A \to D^I$ per cui $\text{@}_0 \circ K = g \circ i$ e $\text{@}_1 \circ K = j \circ f$. Per quanto detto al punto precedente posso estendere tale omotopia ad una $H: B \to D^I$ tra $g$ e $g' = \text{@}_1 \circ H$, che fa commutare il diagramma, ovvero per cui $H \circ i = K$ e $\text{@}_0 \circ H = g$.
A questo punto ho che $g' \circ i =(\text{@}_1 \circ H) \circ i = \text{@}_1 \circ K = j \circ f$, per cui il seguente diagramma (dove, ricordiamo, $g' = \text{@}_1 \circ H$) sarà commutativo.
\[
\begin{array}[c]{ccc}
A&\stackrel{i}{\longrightarrow}&B\\
\big\downarrow\scriptstyle{f}&&\big\downarrow\scriptstyle {g'}\\
C&\stackrel{j}{\longrightarrow}&D
\end{array}
\]
E poi nulla, direi che oltre questo punto per il momento non mi posso azzardare :/
1. Per prima cosa l'omotopia tra $f \circ i$ e $g$, può essere anche vista come una mappa $H_A: A \to Y^I$ che manda $a \in A$ in un cammino di punto base $(f \circ i)(a)$ e punto finale $g(a)$ ovvero tale per cui $\text{@}_0 \circ H_A = (f \circ i)$ e $\text{@}_1 \circ H_A = g$; possiamo quindi ottenere il seguente diagramma commutativo.
\[
\begin{array}[c]{ccc}
A&\stackrel{H_A}{\longrightarrow}&Y^I\\
\big\downarrow\scriptstyle{i}&&\big\downarrow\scriptstyle{@_0}\\
X&\stackrel{f}{\longrightarrow}&D
\end{array}
\]
Ora, se $i$ è una cofibrazione abbiamo che in tale diagramma esiste una mappa $H: X \to Y^I$ tale che $H \circ i= H_A$ e $\text{@}_0 \circ H = f$. Resta da verificare che tale $H$ sia proprio l'omotopia tra $f$ ed $f'$. Questo vale perché $\text{@}_0 \circ H_A = \text{@}_0 \circ (H \circ i) = f \circ i$, dunque $\text{@}_0 \circ H_A = f$, mentre definiremo $f'$ come $\text{@}_1 \circ H: X \to Y$.
Viceversa, se l'omotopia $H_A$ può essere estesa ad $H: X \to Y^I$ omotopia tra funzioni $f, f': X \to Y$, è semplice verificare che $H \circ i= H_A$ e $\text{@}_0 \circ H = f$.
2. Il fatto che $gi$ e $jf$ siano omotope, implica l'esistenza di una mappa $K: A \to D^I$ per cui $\text{@}_0 \circ K = g \circ i$ e $\text{@}_1 \circ K = j \circ f$. Per quanto detto al punto precedente posso estendere tale omotopia ad una $H: B \to D^I$ tra $g$ e $g' = \text{@}_1 \circ H$, che fa commutare il diagramma, ovvero per cui $H \circ i = K$ e $\text{@}_0 \circ H = g$.
A questo punto ho che $g' \circ i =(\text{@}_1 \circ H) \circ i = \text{@}_1 \circ K = j \circ f$, per cui il seguente diagramma (dove, ricordiamo, $g' = \text{@}_1 \circ H$) sarà commutativo.
\[
\begin{array}[c]{ccc}
A&\stackrel{i}{\longrightarrow}&B\\
\big\downarrow\scriptstyle{f}&&\big\downarrow\scriptstyle {g'}\\
C&\stackrel{j}{\longrightarrow}&D
\end{array}
\]
E poi nulla, direi che oltre questo punto per il momento non mi posso azzardare :/
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