Sulle applicazioni bilineari...

[Dorian1]

Ho provato a mostrare un piccolo fatto in maniera autonoma... Mi piacerebbe sentire qualche parere circa la validità della dimostrazione, della quale non sono pienamente convinto... Cominciamo...

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n < oo$, sul corpo $CC$. Inoltre abbiamo $g$ : $V$ X $V->CC$ applicazione bilineare, non degenere e simmetrica: sia $v in V$ un vettore isotropo per $g$, allore esiste un vettore $w in V$ isotropo tale che $g(v,w)=1$.

Direi che equivale a cercare un vettore $t$ dello spazio tale che $g(v,t)!=0$. Una volta trovato $t$, le proprietà del corpo ci permettono di "normalizzarlo", in maniera da soddisfare completamente alla richiesta.
Il ragionamento è questo: procediamo per assurdo, assumendo che $g(v,w)!=0$ implichi necessariamente che $w$ sia non isotropo, quindi:

$w notin $ ortogonale (perchè non è isotropo), ma anche $w notin $ ortogonale (perchè $g(v,w)!=0$) ed inoltre $w notin $ (perchè $ sub $ ortogonale).
Queste senplici considerazioni, aggiunte allo studio delle dimensioni dei vari sottospazi citati ($$, $$ hanno dimensione $1$, $$ ortogonale, $$ ortogonale hanno dimensione $n-1$, $ nn $ ortogonale ha dimensione $0$ ), mi permette di affermare che (noto il Teorema di Decomposizione Ortogonale):

$V = o+ $ ortogonale.

La restrizione di $g$ a $$ è non degenere, quindi lo è anche la restrizione a $$ ortogonale. Però in quest'ultimo sottospazio c'è un vettore, $v$, che non rispetta la condizione di non degenerazione (annullandosi contro ogni altro elemento del sottospazio). Questo è assurdo.

Chiedo il vostro parere, amici del forum... Grazie.

[alberto861]

dunque l'assurdo dovrebbe essere che $\forall w \in V$ $b(v,w)=0$ ma questo contreddirrebbe il fatto che la forma non è degenere