Sul trasporto parallelo
Considero una superficie $S$ immersa in $\R^3$, una curva differenziabile $c:[0,1]->S$ ed un vettore $w_0\in\R^3$.
Per il teorema del trasporto parallelo, posso trasportare $w_0$ lungo la curva $c$ in modo parallelo, cioè precisamente:
esiste ed è unico il campo di vettori $w:[0,1]->\R^3$ tale che $w(0)=w_0$ e $Dw(t)=0$ per ogni $t$
($D$ indica la derivata covariante del campo lungo la curva $c$; la condizione $Dw(t)=0$ equivale a $w'(t)$ ortogonale ad $S$ in $c(t)$).
La mia domanda è: se il vettore $w_0$ è tangente ad $S$ in $c(0)$, allora posso affermare che in ogni istante $w(t)$ sarà tangente ad $S$ in $c(t)$?
Intuitivamente vorrei dire di sì, e in più mi pare che il Do Carmo lo dia per scontato, ma sto faticando a provarlo...
Per il teorema del trasporto parallelo, posso trasportare $w_0$ lungo la curva $c$ in modo parallelo, cioè precisamente:
esiste ed è unico il campo di vettori $w:[0,1]->\R^3$ tale che $w(0)=w_0$ e $Dw(t)=0$ per ogni $t$
($D$ indica la derivata covariante del campo lungo la curva $c$; la condizione $Dw(t)=0$ equivale a $w'(t)$ ortogonale ad $S$ in $c(t)$).
La mia domanda è: se il vettore $w_0$ è tangente ad $S$ in $c(0)$, allora posso affermare che in ogni istante $w(t)$ sarà tangente ad $S$ in $c(t)$?
Intuitivamente vorrei dire di sì, e in più mi pare che il Do Carmo lo dia per scontato, ma sto faticando a provarlo...
Risposte
Sicuramente è vero, tant'è che si può definire il trasporto parallelo su una varietà in modo intrinseco come una applicazione che trasporta i vettori tangenti lungo le curve.
Hai idea della dimostrazione?
Io ho provato a considerare il versore $N$ normale alla superficie. Leggendolo lungo la curva $c$, si può riformulare il problema come segue:
$ =0\ \ ,\ \ w'(t)=k(t) N(t)\ \forall t\ \ \Rightarrow\ \ \ =0\ \forall t$ .
Non sono però riuscito a provare quest'implicazione..
Io ho provato a considerare il versore $N$ normale alla superficie. Leggendolo lungo la curva $c$, si può riformulare il problema come segue:
$
Non sono però riuscito a provare quest'implicazione..
Non ci sono riuscito neanche io. Non ti so dire, purtroppo. Ma deve essere per forza una cosa facile.
La curva $c$ è una geodetica e la definizione stessa di geodetica implica:
$$$=$$$$=0$
(dove con $P_u$ e $P_v$ intendo i vettori che costituiscono la base dello spazio tangente $T_PS$ ad $S$).
L'annullarsi dei prodotti interni indica che il vettore accelerazione $c''$ di una geodetica $c$ è perpendicolare allo spazio tangente $T_PS$ in ogni punto della geodetica, ossia $$$=0 AAt$.
Da questo si deduce anche che la norma del vettore tangente ad una geodetica in un qualsiasi suo punto è costante.
$
(dove con $P_u$ e $P_v$ intendo i vettori che costituiscono la base dello spazio tangente $T_PS$ ad $S$).
L'annullarsi dei prodotti interni indica che il vettore accelerazione $c''$ di una geodetica $c$ è perpendicolare allo spazio tangente $T_PS$ in ogni punto della geodetica, ossia $
Da questo si deduce anche che la norma del vettore tangente ad una geodetica in un qualsiasi suo punto è costante.
Perché \(c\) dovrebbe essere una geodetica? A quanto capisco dal post originario, \(c\) è una curva arbitraria, assegnata a priori. Lungo essa sarà trasportato il vettore \(w\).
Ciao dissonance, da quanto tempo...
...perche' e' una condizione del trasporto parallelo che la derivata covariante, del campo tg alla curva, sia nulla.
Anche nel post iniziale di qwertyuio viene riportata questa condizione ed avere la derivata covariante (del campo tg a $c$) ovunque nulla, indica che $c$ e' una geodetica, è proprio una definizione:
Una curva $\alpha: I sube RR ->M$ in una varietà Riemanniana, si dice geodetica se $\alpha' (t)$ è parallelo lungo $\alpha$.
...perche' e' una condizione del trasporto parallelo che la derivata covariante, del campo tg alla curva, sia nulla.
Anche nel post iniziale di qwertyuio viene riportata questa condizione ed avere la derivata covariante (del campo tg a $c$) ovunque nulla, indica che $c$ e' una geodetica, è proprio una definizione:
Una curva $\alpha: I sube RR ->M$ in una varietà Riemanniana, si dice geodetica se $\alpha' (t)$ è parallelo lungo $\alpha$.
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