Sul lemma 13.1 J. Munkres Topology
Il suddetto lemma si propone di dimostrare l'uguaglianza tra la topologia indotta da una base che caratterizza i suoi elementi come quei sottoinsiemi $A$ di $X$ (lo spazio in oggetto) che godono della proprieta' che per ogni loro punto $x$ esiste un elemento della base che lo contiene e allo stesso tempo sia contenuto in $A$, e la classe di sottoinsiemi, sempre di $X$ , che invece sono caratterizzati dall'essere unioni arbitrarie di elementi della stessa base, pero' nel fare cio' non fa alcun confronto.
A che mi serve sapere che le unioni arbitrarie di elementi della base sono nella prima topologia in quanto sono ciascuno appartenenti alla topologia, quindi anche la loro unione lo e', non mi serve piuttosto dimostrare che queste unioni non introducano elementi nuovi in quanto si possano caratterizzare facilmente come fatto nella prima topologia? Perche' di fatto lui non sta dimostrando che e' una topologia l'unione arbitraria di elementi della medesima base, ma che le due classi sono uguali, la dimostrazione poi che e' pure una topologia seguuirebbe dall'eguaglianza che puo' essere dimostrata, parlo a livello didattico, perche' comprendo che queste unioni arbitrarie sono certamente anche della prima topologia, perche' tale, avendolo dimostrato nel lemma 13.1. Non sarebbe stato meglio effettuare un confronto tra classi di sottoinsiemi?
A che mi serve sapere che le unioni arbitrarie di elementi della base sono nella prima topologia in quanto sono ciascuno appartenenti alla topologia, quindi anche la loro unione lo e', non mi serve piuttosto dimostrare che queste unioni non introducano elementi nuovi in quanto si possano caratterizzare facilmente come fatto nella prima topologia? Perche' di fatto lui non sta dimostrando che e' una topologia l'unione arbitraria di elementi della medesima base, ma che le due classi sono uguali, la dimostrazione poi che e' pure una topologia seguuirebbe dall'eguaglianza che puo' essere dimostrata, parlo a livello didattico, perche' comprendo che queste unioni arbitrarie sono certamente anche della prima topologia, perche' tale, avendolo dimostrato nel lemma 13.1. Non sarebbe stato meglio effettuare un confronto tra classi di sottoinsiemi?
Risposte
"regim":Già avevo la testa che mi gira, ora mi girano anche gli occhi!
Il suddetto lemma si propone di dimostrare l'uguaglianza tra la topologia indotta da una base che caratterizza i suoi elementi come quei sottoinsiemi $ A $ di $ X $ (lo spazio in oggetto) che godono della proprieta' che per ogni loro punto $ x $ esiste un elemento della base che lo contiene e allo stesso tempo sia contenuto in $ A $, e la classe di sottoinsiemi, sempre di $ X $ , che invece sono caratterizzati dall'essere unioni arbitrarie di elementi della stessa base...
Sia \(\displaystyle\mathcal{B}\) la base (topologica) di \(\displaystyle X\): che definizione da Munkres di tale ente? Perché per me, il resto della tua domanda, è una tautologia!
"regim":
Il suddetto lemma si propone di dimostrare l'uguaglianza tra la topologia indotta da una base che caratterizza i suoi elementi come quei sottoinsiemi $A$ di $X$ (lo spazio in oggetto) che godono della proprieta' che per ogni loro punto $x$ esiste un elemento della base che lo contiene e allo stesso tempo sia contenuto in $A$, e la classe di sottoinsiemi, sempre di $X$ , che invece sono caratterizzati dall'essere unioni arbitrarie di elementi della stessa base, pero' nel fare cio' non fa alcun confronto.
Questo è un ottimo esempio della ragione per cui in matematica si usi un linguaggio formale e non il linguaggio naturale
Sono andato a recuperare il testo. Munkres definisce una base con quella che solitamente viene data come una caratterizzazione delle basi. Una base per uno spazio topologico su un insieme \(X\) viene definita come un insieme \(\mathcal{B} \subseteq \mathscr{P}(X)\) tale che
[*:2ehejn69] \(\forall x \in X \ \ \exists B \in \mathcal{B} : \ x \in B\)[/*:m:2ehejn69]
[*:2ehejn69] \(\forall B_1, B_2 \in \mathcal{B} : \left [ x \in B_1 \cap B_2 \Rightarrow \exists B_3 \in \mathcal{B} : x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2 \right ] \)[/*:m:2ehejn69][/list:u:2ehejn69]
A questo punto definisce la topologia \(\tau\) per \(X\) generata da \(\mathcal{B}\) come \(\tau=\{U \in \mathscr{P}(X) | \forall x \in X \ \ \exists B \in \mathcal{B} : x \in B \ \text{e} \ B \subseteq U\}\).
Il lemma dimostra che questa condizione è equivalente a quella che solitamente è la definizione di base (in analogia con quanto accade ad esempio per gli spazi vettoriali): una base \(\mathcal{B}\) per una topologia \(\tau\) è una collezione di insiemi tali che gli elementi di \(\tau\) siano tutte e sole le unioni di elementi di \(\mathcal{B}\). Il lemma non si limita a dirti che la \(\tau\) generata da \(\mathcal{B}\) nel senso della definizione di Munkres contiene le unioni degli elementi in \(\mathcal{B}\), ma afferma che \(\tau\) è esattamente uguale all'insieme delle unioni degli elementi di \(\mathcal{B}\) (ovvero è la topologia generata da \(\mathcal{B}\) nel senso solito).
Se non ho risposto alla domanda, allora non l'ho capita e ti chiedo di riformularla.
Grazie ad entrambi, al primo dico che sono pigro nell'appplicazione del linguaggio formale, qui sul forum, 
AL secondo rispondo che lo avevo capito, e forse si tratttava effettivamente di una tautolgia.
Saluti
AL secondo rispondo che lo avevo capito, e forse si tratttava effettivamente di una tautolgia.
Saluti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo