Sul concetto di isomorfismo
Studiando da wikipedia ho imparato che:
Un isomorfismo è una funzione tra due spazi, tale che essa stessa e la sua inversa siano omomorfismi.
Un omomorfismo è una funzione tra due spazi che conserva la struttura algebrica.
Inoltre ho trovato un'altra definizione di isomorfismo:
Data $f:X->Y$, è isomorfismo se esiste $f^{-1}:Y->X$, $f$ tale che $f \ f^{-1} = Id_Y$ ed $f^{-1} f=Id_X$.
Intanto mi sembra che quest'ultima definizione sia più generale, in quanto non richiede che $X$ e $Y$ siano dotati di struttura algebrica.
Questa definizione però sembra equivalente a dire che un'isomorfismo è una funzione iniettiva e suriettiva. Cosa c'è che mi sfugge?
Un isomorfismo è una funzione tra due spazi, tale che essa stessa e la sua inversa siano omomorfismi.
Un omomorfismo è una funzione tra due spazi che conserva la struttura algebrica.
Inoltre ho trovato un'altra definizione di isomorfismo:
Data $f:X->Y$, è isomorfismo se esiste $f^{-1}:Y->X$, $f$ tale che $f \ f^{-1} = Id_Y$ ed $f^{-1} f=Id_X$.
Intanto mi sembra che quest'ultima definizione sia più generale, in quanto non richiede che $X$ e $Y$ siano dotati di struttura algebrica.
Questa definizione però sembra equivalente a dire che un'isomorfismo è una funzione iniettiva e suriettiva. Cosa c'è che mi sfugge?
Risposte
La seconda è sbagliata, o meglio è la semplice definizione di biiezione (anche perché non chiarisce chi sono $X$ e $Y$... insiemi non vuoti?). E anche la prima non è il massimo, secondo me.
Come osservi, in poche parole, un isomorfismo è una biiezione che in più conserva la struttura. Chiaro che il significato di "preservare la struttura" va chiarito di volta in volta (a seconda che si parli di gruppi, anelli, moduli, spazi vettoriali etc). Esiste ovviamente una definizione "unificatrice" ed è (altrettanto ovviamente) da ricercarsi nella Logica, più precisamente nella Teoria dei Modelli. Se ti interessa ti posto la definizione di isomorfismo (io l'avevo studiata occupandomi un po' di equivalenza elementare e robe analoghe).
Come osservi, in poche parole, un isomorfismo è una biiezione che in più conserva la struttura. Chiaro che il significato di "preservare la struttura" va chiarito di volta in volta (a seconda che si parli di gruppi, anelli, moduli, spazi vettoriali etc). Esiste ovviamente una definizione "unificatrice" ed è (altrettanto ovviamente) da ricercarsi nella Logica, più precisamente nella Teoria dei Modelli. Se ti interessa ti posto la definizione di isomorfismo (io l'avevo studiata occupandomi un po' di equivalenza elementare e robe analoghe).
"Paolo90":
un isomorfismo è una biiezione che in più conserva la struttura
Ciao Paolo, scusami se mi permetto ma volevo dirti che la definizione che dai mi sembra riduttiva. Per esempio un morfismo biettivo fra poset non è necessariamente un isomorfismo. Invece la def. di wikipedia coglie in pieno la caratteristica di un isomorfismo cioè che anche l'inversa è un morfismo. Se non sbaglio anche la def. di iso nella teoria delle categorie mette in evidenza questo aspetto.
@ perplesso
Non ti devi scusare, anzi, ti ringrazio per il tuo intervento. Ne so ben poco, quindi sono ben felice di imparare da chi ne sa più di me. Sì, so bene che la definizione che hai quotato è riduttiva, di fatti non la considero nemmeno una definizione (ho scritto "in poche parole" prima del pezzo quotato intendendo "informalmente").
Da parte mia, confesso di non aver mai sentito come definizione di isomorfismo "omomorfismo il cui inverso è ancora un omomorfismo" ma, ripeto, potrebbe benissimo essere una mia mancanza. Purtroppo ignoro la definizione precisa di isomorfismo nella Teoria delle Categorie.
EDIT: trovata: algebra-commutativa-geometria-algebrica-una-panoramica-t90472.html#p606648
Non ti devi scusare, anzi, ti ringrazio per il tuo intervento. Ne so ben poco, quindi sono ben felice di imparare da chi ne sa più di me. Sì, so bene che la definizione che hai quotato è riduttiva, di fatti non la considero nemmeno una definizione (ho scritto "in poche parole" prima del pezzo quotato intendendo "informalmente").
Da parte mia, confesso di non aver mai sentito come definizione di isomorfismo "omomorfismo il cui inverso è ancora un omomorfismo" ma, ripeto, potrebbe benissimo essere una mia mancanza. Purtroppo ignoro la definizione precisa di isomorfismo nella Teoria delle Categorie.
EDIT: trovata: algebra-commutativa-geometria-algebrica-una-panoramica-t90472.html#p606648
"Paolo90":
sono ben felice di imparare da chi ne sa più di me
Non scherziamo, non ci sono dubbi che tu sei tremila volte più preparato di me!
Sono intervenuto solo perchè avendo avuto a che fare coi poset, mi è capitato di osservare dei morfismi biettivi che però non conservavano il tipo di ordine. La def categoriale è proprio quella che hai linkato, io la conosco solo perchè una volta ho dato una sbirciatina ad un testo di Teoria delle categorie. Ciao. 
Grazie per le risposte.
La definizione in teoria delle categorie però non mi convince. A me sembra che le frecce rappresentino delle funzioni generiche, non vedo dove sta scritto che conservino la struttura.
Nel caso concreto di funzioni tra spazi vettoriali ad esempio, gli isomorfismi sono applicazioni biunivoche e lineari. Applicazioni biunivoche ma non lineari non sono isomorfismi. Questo non vedo da dove possa derivare sulla base della definizione categoriale linkata.
La definizione in teoria delle categorie però non mi convince. A me sembra che le frecce rappresentino delle funzioni generiche, non vedo dove sta scritto che conservino la struttura.
Nel caso concreto di funzioni tra spazi vettoriali ad esempio, gli isomorfismi sono applicazioni biunivoche e lineari. Applicazioni biunivoche ma non lineari non sono isomorfismi. Questo non vedo da dove possa derivare sulla base della definizione categoriale linkata.
sia $L:M_(m,n)(R)\rightarrowL(R^n,R^m)$ l'applicazione che associa alla matrice $A in M_(m,n)(R)$ l'' applicazione $L_A in L(R^n,R^m)$.ora essendo $L$ un isomorfismo é invertibile quindi è bigettiva. Poichè è bigettiva tutte le applicazioni lineari da $R^n$ a $R^m$ sono del tipo $L_A$ per una opportuna matrice $A in M_(m,n)(R)$. L' ultima implicazione è quella che non capisco:il fatto che $L$ sia bigettiva non dovrebbe implicare che esiste una applicazione inversa $L^(-1)$ che ad ogni applicazione $L_A in L(R^n,R^m)$ associa una matrice $A in M_(m,n)(R)$?che significa che tutte le applicazioni lineari da $R^n$ a $R^m$ sono del tipo $L_A$ per una opportuna matrice $A in M_(m,n)(R)$?
grazie in anticipo
grazie in anticipo
La funzione identica da uno spazio topologico indiscreto (tutto è aperto) allo stesso insieme dotato della topologia banale è continua ma non è un isomorfismo, perché la sua inversa non è continua.
La funzione che immerge \(\mathbb{Z}\) in \(\mathbb{Q}\) nella categoria degli anelli è cancellabile a destra (è un epimorfismo) e a sinistra (è un monomorfismo), ma non è un isomorfismo (Z non è un campo).
D'altra parte esiste una funzione biiettiva tra Z e Q, che è numerabile. Allora a seconda della struttura che si considera su due oggetti di una categoria, questi possono essere isomorfi o no (quanti gruppi con 4 elementi esistono? Eppure hanno tutti 4 elementi). Questo è un punto molto importante.
Allo stesso modo l'inclusione di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\) è continua, è iniettiva, ed è anche un epimorfismo (funzioni tra spazi di Hausdorff che coincidono su un denso, coincidono ovunque), ma non è un omeomorfismo (per ragioni di cardinalità e di Cauchy-completezza).
Mappare una retta a pendenza irrazionale nel toro (=quoziente del quadrato nel piano) è anche lei un monomorfismo e un epimorfismo, ma non un isomorfismo. Trovare il motivo è leggermente più difficile (invarianza di dimensione per una varietà).
Nella definizione categoriale di isomorfismo, le frecce non rappresentano funzioni; questa situazione è quella più intuitiva mentalmente, ma di certo non l'unica (allo stesso modo, non tutti gli anelli sono anelli di numeri). Un isomorfismo è una freccia \(f : X\to Y\) tale che esista un'altra freccia nella stessa categoria \(g : Y\to X\) per cui $gf$ ed $fg$ siano uguali alle rispettive identità.
Questa nozione poi si può indebolire in vari modi, ma l'idea resta sempre la stessa. L'altro punto importante è che quei due esempi là sopra mostrano che essere mono ("iniettiva") ed epi("suriettiva") per un omomorfismo in una categoria è la proprietà sbagliata per definire un isomorfismo; vi sono ambienti docili dove essere un isomorfismo significa essere sia mono che epimorfismo.. D'altra parte già nella categoria degli insiemi, il fatto che ogni epimorfismo sia una funzione suriettiva è un'assunzione indipendente dagli altri assiomi dell'insiemistica, ed equivalente all'assioma della scelta.
Senza contare che esiste una grossa gerarchia di mono- ed epi-morfismi, in generale, in una categoria, e (ancora in generale) questa gerarchia è piuttosto complicata. Esistono mono ed epi "effettivi", "estremali", "forti", "essenziali"...
La funzione che immerge \(\mathbb{Z}\) in \(\mathbb{Q}\) nella categoria degli anelli è cancellabile a destra (è un epimorfismo) e a sinistra (è un monomorfismo), ma non è un isomorfismo (Z non è un campo).
D'altra parte esiste una funzione biiettiva tra Z e Q, che è numerabile. Allora a seconda della struttura che si considera su due oggetti di una categoria, questi possono essere isomorfi o no (quanti gruppi con 4 elementi esistono? Eppure hanno tutti 4 elementi). Questo è un punto molto importante.
Allo stesso modo l'inclusione di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\) è continua, è iniettiva, ed è anche un epimorfismo (funzioni tra spazi di Hausdorff che coincidono su un denso, coincidono ovunque), ma non è un omeomorfismo (per ragioni di cardinalità e di Cauchy-completezza).
Mappare una retta a pendenza irrazionale nel toro (=quoziente del quadrato nel piano) è anche lei un monomorfismo e un epimorfismo, ma non un isomorfismo. Trovare il motivo è leggermente più difficile (invarianza di dimensione per una varietà).
Nella definizione categoriale di isomorfismo, le frecce non rappresentano funzioni; questa situazione è quella più intuitiva mentalmente, ma di certo non l'unica (allo stesso modo, non tutti gli anelli sono anelli di numeri). Un isomorfismo è una freccia \(f : X\to Y\) tale che esista un'altra freccia nella stessa categoria \(g : Y\to X\) per cui $gf$ ed $fg$ siano uguali alle rispettive identità.
Questa nozione poi si può indebolire in vari modi, ma l'idea resta sempre la stessa. L'altro punto importante è che quei due esempi là sopra mostrano che essere mono ("iniettiva") ed epi("suriettiva") per un omomorfismo in una categoria è la proprietà sbagliata per definire un isomorfismo; vi sono ambienti docili dove essere un isomorfismo significa essere sia mono che epimorfismo.. D'altra parte già nella categoria degli insiemi, il fatto che ogni epimorfismo sia una funzione suriettiva è un'assunzione indipendente dagli altri assiomi dell'insiemistica, ed equivalente all'assioma della scelta.
Senza contare che esiste una grossa gerarchia di mono- ed epi-morfismi, in generale, in una categoria, e (ancora in generale) questa gerarchia è piuttosto complicata. Esistono mono ed epi "effettivi", "estremali", "forti", "essenziali"...
"asromavale":
sia $L:M_(m,n)(R)\rightarrow L(R^n,R^m)$ l'applicazione che associa alla matrice $A in M_(m,n)(R)$ l'' applicazione $L_A in L(R^n,R^m)$.ora essendo $L$ un isomorfismo é invertibile quindi è bigettiva. Poichè è bigettiva tutte le applicazioni lineari da $R^n$ a $R^m$ sono del tipo $L_A$ per una opportuna matrice $A in M_(m,n)(R)$. L' ultima implicazione è quella che non capisco:il fatto che $L$ sia bigettiva non dovrebbe implicare che esiste una applicazione inversa $L^(-1)$ che ad ogni applicazione $L_A in L(R^n,R^m)$ associa una matrice $A in M_(m,n)(R)$?che significa che tutte le applicazioni lineari da $R^n$ a $R^m$ sono del tipo $L_A$ per una opportuna matrice $A in M_(m,n)(R)$?
grazie in anticipo
L'isomorfismo che scrivi è vero quando hai scelto una base su $L(R^n,R^m)$; fatto questo, mandi l'applicazione $\varphi$ nella matrice che ha per colonne le immagini della base in partenza scritte nella base di arrivo... E comunque questo cosa c'entra?
riporto direttamente l' affermazione del mio testo di riferimento omettendo la dimostrazione del teorema
quello che non capisco è che significa che tutte le applicazioni lineari da $R^n$ a $R^m$ sono del tipo $L_A$ per una opportuna matrice $A in M_(m,n)(R)$? e perchè questo deriva dal fatto che $L$ sia bigettiva?
quello che non capisco è che significa che tutte le applicazioni lineari da $R^n$ a $R^m$ sono del tipo $L_A$ per una opportuna matrice $A in M_(m,n)(R)$? e perchè questo deriva dal fatto che $L$ sia bigettiva?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo