Sugli endomorfismi di spazi vettoriali
ragazzi ho dei dubbi: potreste aiutarmi?
Esercizio 1. Sia f : V in V un endomorfismo di un sottospazio vettoriale e W
un sottospazio f-invariante.
a) Mostra che se $a$ e autovalore per f\W (f ristretto a W), allora $a$ è anche autovalore per f.
b) Mostra che se f ha tutti gli autovalori nel campo, allora anche f\W ha tutti
gli autovalori nel campo.
c) Mostra che se f è diagonalizzabile allora f\W e diagonalizzabile.
ma a me sembra che queste tre proprietà siano vere in genere anche se W non
è invariante: se non ho sbagliato ne ho fatto pure una dimostrazione
Esercizio 2. Sia f : V in V un endomorfismo. Usare l'esercizio precedente per
mostrare il fatto seguente: se f è diagonalizzabile allora un sottospazio W è f-
invariante se e solo se ha una base di autovettori per f. Vale lo stesso risultato se
f non è diagonalizzabile?
ma questo esercizio non l'ho capito. f è diagonalizzabile se e solo se esiste una
base di autovettori per f. Quindi è come dire se f è diagonalizzabile allora un
sottospazio W è f-invariante se e solo se è vera una cosa vera per ipotesi e
dunque è come dire se f è diagonalizzabile allora ogni sottospazio W è f-invariante
che tra l'altro non è vero in genere.
Esercizio 1. Sia f : V in V un endomorfismo di un sottospazio vettoriale e W
un sottospazio f-invariante.
a) Mostra che se $a$ e autovalore per f\W (f ristretto a W), allora $a$ è anche autovalore per f.
b) Mostra che se f ha tutti gli autovalori nel campo, allora anche f\W ha tutti
gli autovalori nel campo.
c) Mostra che se f è diagonalizzabile allora f\W e diagonalizzabile.
ma a me sembra che queste tre proprietà siano vere in genere anche se W non
è invariante: se non ho sbagliato ne ho fatto pure una dimostrazione
Esercizio 2. Sia f : V in V un endomorfismo. Usare l'esercizio precedente per
mostrare il fatto seguente: se f è diagonalizzabile allora un sottospazio W è f-
invariante se e solo se ha una base di autovettori per f. Vale lo stesso risultato se
f non è diagonalizzabile?
ma questo esercizio non l'ho capito. f è diagonalizzabile se e solo se esiste una
base di autovettori per f. Quindi è come dire se f è diagonalizzabile allora un
sottospazio W è f-invariante se e solo se è vera una cosa vera per ipotesi e
dunque è come dire se f è diagonalizzabile allora ogni sottospazio W è f-invariante
che tra l'altro non è vero in genere.
Risposte
Provo a risponderti e spero di essere chiaro.
Per il primo esercizio: le prime due proprietà valgono effettivamente in generale, la terza no. Te lo dico in maniera informale.
Il fatto che un endomorfismo f sia diagonalizzabile vuol dire a occhio e croce che puoi trovare una base di V tale che f manda ogni vettore della base in un suo multiplo, in parole povere una base di autovettori. Se restringi f ad un s.spazio W f-invariante vuol dire che f(W)=W cioè trovi una qualsiasi base di W (m vettori), la completi ad una base di V(n vettori). La matrice di f rispetto a questa base è a blocchi. Cioè qualcosa del tipo:
$M=((M',A),(0,B))$ con M' matrice mxm.
Detto questo se unisci le ipotesi che W sia f-invariante e che f sia diagonalizzabile ottieni che puoi ricavare una base di autovettori per f|W e che quindi quest'ultimo è diagonalizzabile.
Se W NON è f-invariante questo passaggio non lo puoi fare. Il controesempio lo trovi facilmente. Per una dimostrazione formale credo sia utile Gram-Schmidt.
Per quanto riguarda il secondo:
E' la stessa cosa del primo detto in altre parole. se f è diagonalizzabile e W è f-invariante allora f|W è diagonalizzabile (alias: ha una base di autovettori) (nota grammaticale: per come è scritta la frase è W ad avere una base di autovettori per f cioè per f|W non V... è qui che hai sbagliato a capire) cioè esattamente il punto c del primo esercizio. Qui devi verificare anche il viceversa: se W ha una base di autovettori per f (cioè f|W) e f è diagonalizzabile allora W è f-invariante. Banale.
Sono stato sufficientemente chiaro?
Per il primo esercizio: le prime due proprietà valgono effettivamente in generale, la terza no. Te lo dico in maniera informale.
Il fatto che un endomorfismo f sia diagonalizzabile vuol dire a occhio e croce che puoi trovare una base di V tale che f manda ogni vettore della base in un suo multiplo, in parole povere una base di autovettori. Se restringi f ad un s.spazio W f-invariante vuol dire che f(W)=W cioè trovi una qualsiasi base di W (m vettori), la completi ad una base di V(n vettori). La matrice di f rispetto a questa base è a blocchi. Cioè qualcosa del tipo:
$M=((M',A),(0,B))$ con M' matrice mxm.
Detto questo se unisci le ipotesi che W sia f-invariante e che f sia diagonalizzabile ottieni che puoi ricavare una base di autovettori per f|W e che quindi quest'ultimo è diagonalizzabile.
Se W NON è f-invariante questo passaggio non lo puoi fare. Il controesempio lo trovi facilmente. Per una dimostrazione formale credo sia utile Gram-Schmidt.
Per quanto riguarda il secondo:
E' la stessa cosa del primo detto in altre parole. se f è diagonalizzabile e W è f-invariante allora f|W è diagonalizzabile (alias: ha una base di autovettori) (nota grammaticale: per come è scritta la frase è W ad avere una base di autovettori per f cioè per f|W non V... è qui che hai sbagliato a capire) cioè esattamente il punto c del primo esercizio. Qui devi verificare anche il viceversa: se W ha una base di autovettori per f (cioè f|W) e f è diagonalizzabile allora W è f-invariante. Banale.
Sono stato sufficientemente chiaro?
"Megan00b":
Se W NON è f-invariante questo passaggio non lo puoi fare. Il controesempio lo trovi facilmente. Per una dimostrazione formale credo sia utile Gram-Schmidt.
allora per il terzo punto del primo esercizio ti dico la dimostrazione che ho dato così mi dici dove ho sbagliato. Se f è diagonalizzabile allora il polinomio minimo di f ha tutte le radici in K e sono tutte distinte. Poichè il polinomio minimo di f ristretto a W divide il polinomio minimo di f allora anche il polinomio minimo di f ristretto a W avrà tutte le radici in K e tutte distinte e per cui f ristretto a W è diagonalizzabile.
"Megan00b":
Per quanto riguarda il secondo:
[...] (nota grammaticale: per come è scritta la frase è W ad avere una base di autovettori per f cioè per f|W non V... è qui che hai sbagliato a capire)
ok meglio che l'errore sia stato grammaticale piuttosto che matematico....
Sì, ma capisci bene che se W non è f-invariante f|W NON è un endomorfismo cioè ciò che dici ha senso se f|W è ancora un endomorfismo cioè se W è f-invariante.....
"Megan00b":
Sì, ma capisci bene che se W non è f-invariante f|W NON è un endomorfismo cioè ciò che dici ha senso se f|W è ancora un endomorfismo cioè se W è f-invariante.....
hai perfettamente ragione. Grazie dell'aiuto
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