Successioni convergenti in uno spazio topologico
Buongiorno a tutti, sto preparando l'esame scritto di geometria 2 e avrei bisogno di aiuto per quanto riguarda alcuni esercizi! In realtà ho provato già a risolverli da sola, ma non sono sicura di averli svolti bene. Vi scrivo la traccia e il mio svolgimento:
Data la successione x=3+1/n si determinino gli eventuali punti di convergenza nelle seguenti topologie di R: topologia naturale, topologia delle semirette sinistre aperte\ destre aperte e infine nella topologia che ha per aperti il vuoto,R e gli intervalli ]-a,a[ con a in R.
Il mio svolgimento:
-- (R,N) N= topologia naturale
la successione converge a 3, infatti per ogni intorno di 3 del tipo ]3-b, 3+b[ interseca la successione se prendo b>1/n
-- (R,As) As= topologia delle semirette sinistre aperte
la successione converge ad ogni punto l maggiore o uguale a 3, infatti per b>3 l'aperto ]-oo,b[ interseca la successione
--(R,Ad) Ad=topologia delle semirette destre aperte
la successione converge ad ogni punto l<4, infatti con a<4 l'aperto ]a, +oo[ interseca la successione
-- (R,A) A= topologia i cui aperti sono il vuoto,R e gli intervalli ]-a,a[ con a in R
la successione converge ad ogni punto l minore o uguale di -3 o maggiore o uguale di 3, infatti gli intorni di l intersecano la successione.
Gli esercizi sono svolti correttamente? Inoltre vorrei un consiglio: nella prova d'esame devo aggiungere qualche altra spiegazione?
Vi ringrazio in anticipo per la vostra attenzione
Data la successione x=3+1/n si determinino gli eventuali punti di convergenza nelle seguenti topologie di R: topologia naturale, topologia delle semirette sinistre aperte\ destre aperte e infine nella topologia che ha per aperti il vuoto,R e gli intervalli ]-a,a[ con a in R.
Il mio svolgimento:
-- (R,N) N= topologia naturale
la successione converge a 3, infatti per ogni intorno di 3 del tipo ]3-b, 3+b[ interseca la successione se prendo b>1/n
-- (R,As) As= topologia delle semirette sinistre aperte
la successione converge ad ogni punto l maggiore o uguale a 3, infatti per b>3 l'aperto ]-oo,b[ interseca la successione
--(R,Ad) Ad=topologia delle semirette destre aperte
la successione converge ad ogni punto l<4, infatti con a<4 l'aperto ]a, +oo[ interseca la successione
-- (R,A) A= topologia i cui aperti sono il vuoto,R e gli intervalli ]-a,a[ con a in R
la successione converge ad ogni punto l minore o uguale di -3 o maggiore o uguale di 3, infatti gli intorni di l intersecano la successione.
Gli esercizi sono svolti correttamente? Inoltre vorrei un consiglio: nella prova d'esame devo aggiungere qualche altra spiegazione?
Vi ringrazio in anticipo per la vostra attenzione
Risposte
A me sembrano fatti bene, solo non ho capito l'ultimo
Forse faccio una domanda sciocca ma mi diresti qual'è un intorno del punto $5$ che non interseca la successione?
"kiki":
-- (R,A) A= topologia i cui aperti sono il vuoto,R e gli intervalli ]-a,a[ con a in R
la successione converge ad ogni punto l nell'intervallo [3,4], infatti gli intorni di l intersecano la successione.
Forse faccio una domanda sciocca ma mi diresti qual'è un intorno del punto $5$ che non interseca la successione?
non è una domanda sciocca, anzi, ti ringrazio per la domanda perchè mi ha fatto riflettere... tutti gli intorni di 5 intersecano la successione nella topologia suddetta, e ripensando all'esercizio direi che la successione converge a tutti i numeri reali minori o uguali di -3 e maggiori o uguali di 3! ti trovi come me?
Esatto. 
grazie mille! mi sei stato di grande aiuto! buona serata! 
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