Su di una ipotetica definizione di rette distinte in \( \mathbb{R}^2\)
Salve a tutti,
prendiamo due rette in forma cartesiana: $$r_1: ax+by+c=0$$$$r_2:a'x+b'y+c'=0$$ queste due rette possono essere o parallere o incidenti, se sono parallele possono essere "parallele distinte" o "parallele coincidenti", posto di seguito le rispettive condizioni/definizioni:
"\( r_1\) e \( r_2 \) sono parallele se \( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b \\ a' & b'\end{bmatrix} =1 \)"
"\( r_1\) e \( r_2 \) sono incidenti se \( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b \\ a' & b'\end{bmatrix} =2 \)"
"\( r_1\) e \( r_2 \) sono parallele distinte se \( r_1\) e \( r_2 \) sono parallele e \( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b &c\\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =2 \)"
"\( r_1\) e \( r_2 \) sono parallele coincidenti se \( r_1\) e \( r_2 \) sono parallele e \( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b &c\\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =1 \)"
pensavo a come includere in una unica definizione quando \( r_1\) e \( r_2 \) sono distinte, se non erro lo sono quando sono o "parallele distinte" o "incidenti", e in particolare avevo pensato a questa definizione:
"\( r_1\) e \( r_2 \) sono distinte se \( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b&c \\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =2 \)"
vi chiedo se è possibile fare in questo modo, e se per rette distinte basta quest'ultima condizione!
Ringrazio ancitipatamente!
Cordiali saluti
P.S.=Tutta la questione è nata quando nel studiare il "fascio di rette generatrici" leggo che le due rette devono essere distinte, ma non avendo letto alcuna definizione di rette distinte e non trovandola sono entrato in un pallone, dalla spiegazione ho intuito che sono distinte se o sono "parallele distinte" o " incidenti".. e quindi cercavo una condizione unica che potesse includere questi casi in una definizione..
prendiamo due rette in forma cartesiana: $$r_1: ax+by+c=0$$$$r_2:a'x+b'y+c'=0$$ queste due rette possono essere o parallere o incidenti, se sono parallele possono essere "parallele distinte" o "parallele coincidenti", posto di seguito le rispettive condizioni/definizioni:
"\( r_1\) e \( r_2 \) sono parallele se \( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b \\ a' & b'\end{bmatrix} =1 \)"
"\( r_1\) e \( r_2 \) sono incidenti se \( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b \\ a' & b'\end{bmatrix} =2 \)"
"\( r_1\) e \( r_2 \) sono parallele distinte se \( r_1\) e \( r_2 \) sono parallele e \( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b &c\\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =2 \)"
"\( r_1\) e \( r_2 \) sono parallele coincidenti se \( r_1\) e \( r_2 \) sono parallele e \( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b &c\\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =1 \)"
pensavo a come includere in una unica definizione quando \( r_1\) e \( r_2 \) sono distinte, se non erro lo sono quando sono o "parallele distinte" o "incidenti", e in particolare avevo pensato a questa definizione:
"\( r_1\) e \( r_2 \) sono distinte se \( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b&c \\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =2 \)"
vi chiedo se è possibile fare in questo modo, e se per rette distinte basta quest'ultima condizione!
Ringrazio ancitipatamente!
Cordiali saluti
P.S.=Tutta la questione è nata quando nel studiare il "fascio di rette generatrici" leggo che le due rette devono essere distinte, ma non avendo letto alcuna definizione di rette distinte e non trovandola sono entrato in un pallone, dalla spiegazione ho intuito che sono distinte se o sono "parallele distinte" o " incidenti".. e quindi cercavo una condizione unica che potesse includere questi casi in una definizione..
Risposte
A me pare proprio di sì: direi che
\( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b \\ a' & b'\end{bmatrix} =2 \quad\lor\quad \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b &c\\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =2 \) equivalga a \(\mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b &c\\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =2 \).
Direi anche che due rette, affini, in particolare euclidee, ma anche per esempio proiettive, sono distinte se e solo se non hanno tutti i punti in comune.
Se dico scemenze spero di venire corretto.
Ciao e buona geometria (io ne ho fatte di domande qui sul contenuto del Sernesi...
)!
\( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b \\ a' & b'\end{bmatrix} =2 \quad\lor\quad \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b &c\\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =2 \) equivalga a \(\mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b &c\\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =2 \).
Direi anche che due rette, affini, in particolare euclidee, ma anche per esempio proiettive, sono distinte se e solo se non hanno tutti i punti in comune.
Se dico scemenze spero di venire corretto.
Ciao e buona geometria (io ne ho fatte di domande qui sul contenuto del Sernesi...
)!
@DavideGenova,
ehehehe hai indovinato il libro da dove ho preso le def....
preciso "non solo da lì", anche da http://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ910pp.pdf, thanks cmq della risposta/parere! 
Saluti
"DavideGenova":
A me pare proprio di sì: direi che
\( \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b \\ a' & b'\end{bmatrix} =2 \quad\lor\quad \mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b &c\\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =2 \) equivalga a \(\mbox{rank}\begin{bmatrix} a& b &c\\ a' & b'&c'\end{bmatrix} =2 \).
Direi anche che due rette, affini, in particolare euclidee, ma anche per esempio proiettive, sono distinte se e solo se non hanno tutti i punti in comune.
Se dico scemenze spero di venire corretto.
Ciao e buona geometria (io ne ho fatte di domande qui sul contenuto del Sernesi...
ehehehe hai indovinato il libro da dove ho preso le def....
preciso "non solo da lì", anche da http://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ910pp.pdf, thanks cmq della risposta/parere! Saluti
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