Su che base viene definita una base canonica?
Salve! Studiando algebra lineare mi è sorta qualche perplessità circa la definizione di base canonica: da quanto ho letto si definisce base canonica (per esempio in R3) la base costituita dai vettori (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
Ora, il dubbio è il seguente: se per avere un sistema di coordinate debbo preventivamente disporre di una base, in funzione di quale base sono espresse le coordinate dei vettori della mia base canonica?
Ora, il dubbio è il seguente: se per avere un sistema di coordinate debbo preventivamente disporre di una base, in funzione di quale base sono espresse le coordinate dei vettori della mia base canonica?
Risposte
Domanda interessante.
Il fatto è che, per rimanere al tuo esempio, $RR^3$ ha già delle "coordinate" in quanto insieme, prima di definirci sopra qualsiasi struttura algebrica.
Ciò è dovuto al fatto che $RR^3$ nasce come un prodotto cartesiano.
Facciamo un esempio. Pendi un insieme $A$ qualsiasi. E prendi due elementi distinti di $A$ qualsiasi (beh, supponiamo che $A$ contenga almeno due elementi...): $a'$ ed $a''$.
Ovviamente puoi considerare i seguenti elementi (distinti) di $A^3$: $(a',a'',a'')$, $(a'',a',a'')$ e $(a'',a'',a')$.
Come penso si veda, questa è la stessa costruzione che ti porta alla "base canonica". L'unica differenza (interessante...) è che lì $a' = 1$ ed $a'' = 0$. Interessante in quanto sono elementi individuati dalla struttura algebrica che hai su $RR$ (è un campo, quindi un anello con unità). Ma non ha nulla a che fare con la presenza di un "sistema di coordinate" su $RR^3$ derivante dalla scelta di una base di questo spazio vettoriale.
Il fatto è che, per rimanere al tuo esempio, $RR^3$ ha già delle "coordinate" in quanto insieme, prima di definirci sopra qualsiasi struttura algebrica.
Ciò è dovuto al fatto che $RR^3$ nasce come un prodotto cartesiano.
Facciamo un esempio. Pendi un insieme $A$ qualsiasi. E prendi due elementi distinti di $A$ qualsiasi (beh, supponiamo che $A$ contenga almeno due elementi...): $a'$ ed $a''$.
Ovviamente puoi considerare i seguenti elementi (distinti) di $A^3$: $(a',a'',a'')$, $(a'',a',a'')$ e $(a'',a'',a')$.
Come penso si veda, questa è la stessa costruzione che ti porta alla "base canonica". L'unica differenza (interessante...) è che lì $a' = 1$ ed $a'' = 0$. Interessante in quanto sono elementi individuati dalla struttura algebrica che hai su $RR$ (è un campo, quindi un anello con unità). Ma non ha nulla a che fare con la presenza di un "sistema di coordinate" su $RR^3$ derivante dalla scelta di una base di questo spazio vettoriale.
Grazie per la risposta!
Il testo su cui ho studiato non era affatto chiaro su questo punto; da quanto (non) avevo capito immagino derivassero conseguenze assurde come il fatto che la relazione di ortogonalità (o la norma di un vettore), per esempio, dipendeva dalla base scelta, perdendo il "carattere assoluto"...
Il testo su cui ho studiato non era affatto chiaro su questo punto; da quanto (non) avevo capito immagino derivassero conseguenze assurde come il fatto che la relazione di ortogonalità (o la norma di un vettore), per esempio, dipendeva dalla base scelta, perdendo il "carattere assoluto"...
P.S.
In virtù di quanto detto sopra, si può dire che la base canonica sia ortogonale "per definizione"?
Nel senso che una volta definita questa come orto(normale), l'ortogonalità di altri vettori venga sancita per "confronto" con la base canonica? (non so come meglio definire "confronto"
)
In virtù di quanto detto sopra, si può dire che la base canonica sia ortogonale "per definizione"?
Nel senso che una volta definita questa come orto(normale), l'ortogonalità di altri vettori venga sancita per "confronto" con la base canonica? (non so come meglio definire "confronto"
)
Direi di no.
A partire dalla base canonica si definisce (su $RR^3$, diciamo, per fissare le idee) un prodotto scalare in modo semplice così (indico con $( . , . )$ il prodotto scalare):
$(e_i,e_j) = \delta_{ij}$
e poi si "prolunga per bilineraità".
Ma ovviamente posso definire altri prodotti scalari che hanno "pari dignità" (anche se meno "naturali").
Tutto quanto sopra, ammesso e non concesso di aver capito la tua domanda
A partire dalla base canonica si definisce (su $RR^3$, diciamo, per fissare le idee) un prodotto scalare in modo semplice così (indico con $( . , . )$ il prodotto scalare):
$(e_i,e_j) = \delta_{ij}$
e poi si "prolunga per bilineraità".
Ma ovviamente posso definire altri prodotti scalari che hanno "pari dignità" (anche se meno "naturali").
Tutto quanto sopra, ammesso e non concesso di aver capito la tua domanda
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