Studio sistema lineare con parametro β
Salve a tutti!!
Sono nuova nel forum, quindi scusate in anticipo se sbaglierò qualcosa!
Avrei bisogno di una mano riguardo un esercizio di algebra lineare per il prossimo esame di Analisi.
Il testo di partenza è il seguente:
Sia V il sottospazio di $R^4$ generato dai vettori $v_1$=(1,2,-1,0), $v_2$=(1,0,1,1), $v_3$=(0,2,-1,1).
Dopo di che chiede di determinare:
a) Detta $T:R^3->R^4$ la trasformazione lineare tale che $T(e_i)=v_i$ i=1,2,3 ($e_i$ vettori canonici di $R^3$) determinare una base del nucleo di T e una base dell'immagine di T.
(che in teoria ho svolto: essendo matrice associata già a base canonica e i vettori dell'immagine indipendenti, Nucleo di T={0,0,0,0} e base Im(T)={v1,v2,v3}.....ma accetto volentieri conferme o correzioni!!!
b) Detto $w=(β,1,1,1)$ studiare al variare di $β$ in R, il sistema lineare $T(x)=w$.
E' quest'ultimo punto b che mi lascia un pò perplessa..
Ringrazio in anticipo chi risponderà!!
Sono nuova nel forum, quindi scusate in anticipo se sbaglierò qualcosa!
Avrei bisogno di una mano riguardo un esercizio di algebra lineare per il prossimo esame di Analisi.
Il testo di partenza è il seguente:
Sia V il sottospazio di $R^4$ generato dai vettori $v_1$=(1,2,-1,0), $v_2$=(1,0,1,1), $v_3$=(0,2,-1,1).
Dopo di che chiede di determinare:
a) Detta $T:R^3->R^4$ la trasformazione lineare tale che $T(e_i)=v_i$ i=1,2,3 ($e_i$ vettori canonici di $R^3$) determinare una base del nucleo di T e una base dell'immagine di T.
(che in teoria ho svolto: essendo matrice associata già a base canonica e i vettori dell'immagine indipendenti, Nucleo di T={0,0,0,0} e base Im(T)={v1,v2,v3}.....ma accetto volentieri conferme o correzioni!!!
b) Detto $w=(β,1,1,1)$ studiare al variare di $β$ in R, il sistema lineare $T(x)=w$.
E' quest'ultimo punto b che mi lascia un pò perplessa..
Ringrazio in anticipo chi risponderà!!
Risposte
@ire88,
noto che sei un nuovo utente, "bevenuto"... la consegna è la seguente:
confermi?
Saluti
noto che sei un nuovo utente, "bevenuto"... la consegna è la seguente:
Sia \(V\) il sottospazio di \( \Bbb{R}^4\) generato dai vettori \(v_1=(1,2,-1,0), v_2=(1,0,1,1), v_3=(0,2,-1,1)\)
a) Detta \(T:\Bbb{R}^3\to \Bbb{R}^4\) la trasformazione lineare tale che \(T(e_i)=v_i, i=1,2,3 \) (con \(e_i\) vettori canonici di \( \Bbb{R}^3\)) determinare una base del nucleo di \(T\) e una base dell'immagine di \(T\).
b) Detto \(w=(β,1,1,1)\) studiare al variare di \( \beta \in \Bbb{R} \), il sistema lineare \(T(x)=w\).
confermi?
Saluti
Grazie mille del benvenuto!! 
Si esatto, l'esercizio è questo..ci sono anche altri punti ma che non ho trascritto perchè non utili alla risoluzione del b)
Grazie per averlo risistemato!! Non ero stata molto chiara in effetti
Si esatto, l'esercizio è questo..ci sono anche altri punti ma che non ho trascritto perchè non utili alla risoluzione del b)
Grazie per averlo risistemato!! Non ero stata molto chiara in effetti
@ire88,
ti confermo intanto che \( ker(T)=\{(0,0,0)\} \), quindi \( T \) è un monomorfismo, vuole una base per il nucleo, non esiste
per quanto l'\(im(T) \) la sua dimensione è \( 3 \) e certamente l'\(im(T) \) è generata dalle immagini \( f(e_1),f(e_2),f(e_3) \)..
tu avevi scritto:
da cosa hai dedotto quei risultati..?
Saluti
"ire88":
Grazie mille del benvenuto!!
Si esatto, l'esercizio è questo..ci sono anche altri punti ma che non ho trascritto perchè non utili alla risoluzione del b)
Grazie per averlo risistemato!! Non ero stata molto chiara in effetti
ti confermo intanto che \( ker(T)=\{(0,0,0)\} \), quindi \( T \) è un monomorfismo, vuole una base per il nucleo, non esiste
per quanto l'\(im(T) \) la sua dimensione è \( 3 \) e certamente l'\(im(T) \) è generata dalle immagini \( f(e_1),f(e_2),f(e_3) \).. tu avevi scritto:
"ire88":
Nucleo di T={0,0,0,0} e base Im(T)={v1,v2,v3}.....ma accetto volentieri conferme o correzioni!!!
da cosa hai dedotto quei risultati..?
Saluti
"garnak.olegovitc":
@ire88,
[quote="ire88"]Grazie mille del benvenuto!!
Si esatto, l'esercizio è questo..ci sono anche altri punti ma che non ho trascritto perchè non utili alla risoluzione del b)
Grazie per averlo risistemato!! Non ero stata molto chiara in effetti
ti confermo intanto che \( ker(T)=\{(0,0,0)\} \), quindi \( T \) è un monomorfismo, vuole una base per il nucleo, non esiste
per quanto l'\(im(T) \) la sua dimensione è \( 3 \) e certamente l'\(im(T) \) è generata dalle immagini \( f(e_1),f(e_2),f(e_3) \).. tu avevi scritto:
"ire88":
Nucleo di T={0,0,0,0} e base Im(T)={v1,v2,v3}.....ma accetto volentieri conferme o correzioni!!!
da cosa hai dedotto quei risultati..?
Saluti[/quote]
Per $Ker(T)$ ho sbagliato io a mettere uno $0$ di troppo...
Dato che il rango della matrice associata a T è 3 e a questo deve corrispondere la dimensione di $Im(T)$, ho preso come base di $Im(T)$ i vettori $v_1 v_2 v_3$ che non sono altro che le immagini che hai indicato te.
Dovremmo aver detto la stessa cosa se non sbaglio!!
@ire88,
sisi abbiamo detto la stessa cosa, ma tu hai scritto \( Im(T) =\{v_1,v_2,v_3\} \), significa che l'insieme \( Im(T) \) è formato dai soli vettori \(v_1\), \(v_2\) e \(v_3 \)...
Saluti
P.S.=
così va meglio, dato che abbiamo visto che quei tre vettori generano \( Im(T)\), basta vedere che sono anche liberi allora sono base per \( Im(T) \)..
sisi abbiamo detto la stessa cosa, ma tu hai scritto \( Im(T) =\{v_1,v_2,v_3\} \), significa che l'insieme \( Im(T) \) è formato dai soli vettori \(v_1\), \(v_2\) e \(v_3 \)...
Saluti
P.S.=
"ire88":
ho preso come base di $Im(T)$ i vettori $v_1 v_2 v_3$ che non sono altro che le immagini che hai indicato te.
Dovremmo aver detto la stessa cosa se non sbaglio!!
così va meglio, dato che abbiamo visto che quei tre vettori generano \( Im(T)\), basta vedere che sono anche liberi allora sono base per \( Im(T) \)..
"garnak.olegovitc":
@ire88,
sisi abbiamo detto la stessa cosa, ma tu hai scritto \( Im(T) =\{v_1,v_2,v_3\} \), significa che l'insieme \( Im(T) \) è formato dai soli vettori \(v_1\), \(v_2\) e \(v_3 \)...
Saluti
P.S.= [quote="ire88"]
ho preso come base di $Im(T)$ i vettori $v_1 v_2 v_3$ che non sono altro che le immagini che hai indicato te.
Dovremmo aver detto la stessa cosa se non sbaglio!!
così va meglio, dato che abbiamo visto che quei tre vettori generano \( Im(T)\), basta vedere che sono anche liberi allora sono base per \( Im(T) \)..
[/quote]Si, esatto. Scusami!
@ire88,
ma figurati... non devi scusarti!! Buono studio!
Saluti
"ire88":
Si, esatto. Scusami!
ma figurati... non devi scusarti!! Buono studio!
Saluti
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