Studio sistema lineare al variare di un parametro

[Gost91]

Salve a tutti!
Volevo provare a fare un altro esercizio riguardante l'analisi qualitativa dei sistemi lineari, tanto per impratichirmi un po'.
Allora il quesito è il seguente, e devo come sempre indicare la risposta giusta:

Si consideri il sistema

${(x_1+x_2-x_3=0),(x_1+2x_2=1),(x_1-x_3=0),(3x_1+3x_2-x_3=h):}$

al variare del parametro h, allora:

1)Non ammette soluzioni se h=2.
2)Ammette un'unica soluzione se h=2.
3)Le altre risposte sono errate.
4)Ammette sempre infinite soluzioni se h=1.
5)Ammette un'unica soluzione se h=1.

Intanto mi calcolo il rango della matrice A associata al sistema, mediante la triangolazione di essa:

$[[1,1,-1],[1,2,0],[1,0,-1],[3,3,-1]]$>>

$[[1,1,-1],[0,1,1],[0,0,1],[0,0,0]]$

Supponendo di aver svolto correttamente ogni passaggio otterrei che $rango(A)=3$

Ora passo al calcolo del rango della matrice completa (A|b), con h=2.
Prima domanda: ora la matrice è quadrata, potrei calcolare il $rango(A|b)$ mediante $det(A|b)$?
Non conoscendo la risposta, vado avanti con il metodo classico:

$[[1,1,-1,0],[1,2,0,1],[1,0,-1,0],[3,3,-1,2]]$>>

$[[1,1,-1,0],[0,1,1,1],[0,0,1,1],[0,0,0,2]]$

Da cui ricavo che $rango(A|b)=4$.
Quindi per h=2 direi che non si hanno soluzioni in quanto $rango(A)!=rango(A|b)$.
Potrei già rispondere, ma preferisco verificare la coerenza delle risposte.
Mi calcolo $rango(A|b)$ per h=1:

$[[1,1,-1,0],[1,2,0,1],[1,0,-1,0],[3,3,-1,1]]$>>

$[[1,1,-1,0],[0,1,1,1],[0,0,1,1],[0,0,0,1]]$

Ricavando che anche per h=1 non si hanno soluzioni.
Quindi risponderei al quesito con la risposta n°1.

Ora le domande sono:
1)Come già chiesto, il determinante di una matrice quadrata coincide con il suo rango?
2)Le riduzioni a squadra sono corrette sono corrette?

Grazie mille a tutti!

[ciampax]

1) ti ha dato di volta il cervello? Il rango è un numero compreso tra zero e $n$ (dove $n$ è la dimensione minore della matrice) ed è naturale, il determinate è un fattore numerico reale (qualsiasi) associato ad una matrice.

2) dovrei fare tutti i conti, non ho voglia!

[Gost91]

Ciampax per me è tutta roba nuova questa!
Devo finire di fare il rodaggio!
Perdona la idiozia che ho detto

Qui compare un determinante, per questo ho pensato che rango(A)=det(A):
studio-sistema-lineare-al-variare-di-un-parametro-t81168.html

Mi pare che Camillo risolva rispetto h l'equazione $det(A)=0$ , relazione che gli permette di affermare come varia il rango di A in base al parametro h.
Mi pare di ricordare che se il det(A)=0 all'interno della matrice si ha almeno un paio di righe/colonne linearmente dipendenti.
Quindi se la matrice $A\inM(n,n)$ e $det(A)=0$ direi che il suo rango è Io ora non so come possa aver fatto Camillo ad affermare che in quel caso $det(A)=>rango(A)=2$, quindi, se non è troppo disturbo, mi piacerebbe un po' sapere come giocare con i determinanti (che mi piacciono tanto ) per ricavare utili informazioni sul rango di una matrice.

[ciampax]

La cosa è molto semplice: se $A$ è una matrice quadrata di ordine $n$ allora [tex]$\det A\ne 0 \ \Leftrightarrow\ \mathrm{rg}(A)=n$[/tex]. Pertanto si ha pure [tex]$\det A= 0 \ \Leftrightarrow\ \mathrm{rg}(A) < n$[/tex].

[Gost91]

Ok perfetto, quindi confermi quello che ho appena detto.
Grazie ciampax!