Studio sistema lineare al variare di un parametro
Buona sera a tutti gente!
Purtroppo il seguente esercizio apparentemente molto semplice (probabilmente lo è effettivamente) mi ha mandato in crisi.
Come sempre mi si chiede di individuare la risposta corretta.
Si consideri al variare del parametro h il seguente sistema di 3 equazioni in 3 incognite:
${(x_1-x_2-x_3=1),(hx_1-x_3=0),(2x_1-x_2-2x_3=h):}$
allora:
1)Il sistema ammette $infty^2$ soluzioni se h=0.
2)Ammette un'unica soluzione se h=1.
3)Se il sistema ammette $infty^1$ allora $h^2+h-2=0$.
4)Le altre risposte sono errate.
5)Il sistema ammette sempre infinite soluzioni.
Premetto che non ho idea di cosa stiano a significare i simboli $infty^2$ e $infty^1$.
Credo che per risolvere questo esercizio ci si debba affidare al teorema di Rouchè-Capelli, quindi mi devo calcolare il rango della matrice incompleta e il rango della matrice completa.
Per farlo devo ridurre a squadra le 2 matrici e contare il numero di pivot.
Chiamando $r_1,r_2,r_3$ le rispettive righe, incomincio con la matrice incompleta:
$[[1,-1,-1],[h,0,-1],[2,-1,-2]]$
a $r_2$ aggiungo $r_1 (-h)$:
$[[1,-1,-1],[0,h,-h-1],[2,-1,-2]]$
a $r_3$ aggiungo $r_1 (-2)$:
$[[1,-1,-1],[0,h,-h-1],[0,1,0]]$
inverto $r_3$ con $r_2$:
$[[1,-1,-1],[0,1,0],[0,h,-h-1]]$
a $r_3$ aggiungo $r_2(-h)$
$[[1,-1,-1],[0,1,0],[0,0,-h-1]]$
A questo punto mi risulta che la matrice incompleta sia triangolare, quindi direi che il suo rango equivale a 3, supposto $h!=-1$, o 2, supposto $h=-1$
Procedo con il calcolo del rango della matrice completa considerando $h!=-1$:
$[[1,-1,-1,1],[h,0,-1,0],[2,-1,-2,h]]$
a $r_2$ aggiungo $r_1(-h)$:
$[[1,-1,-1,1],[0,h,-h-1,-h],[2,-1,-2,h]]$
a $r_3$ aggiungo $r_2(-2)$:
$[[1,-1,-1,1],[0,h,-h-1,-h],[0,1,0,h-2]]$
a $r_3$ aggiungo $r_2(-1/h)$
$[[1,-1,-1,1],[0,h,-h-1,-h],[0,0,1-1/h,h-1]]$
A questo punto direi che per $h!=1$ si ha una sola soluzione in quanto anche la matrice completa ha rango=3, che coincide con il rango di quella incompleta e con il numero di incognite.
Adesso guardo cosa ottengo se $h=1$, devo triangolare la seguente matrice:
$[[1,-1,-1,1],[1,0,-1,0],[2,-1,-2,1]]$
a $r_2$ aggiungo $r_1(-1)$:
$[[1,-1,-1,1],[0,1,0,-1],[2,-1,-2,1]]$
a $r_3$ aggiungo $r_1(-2)$:
$[[1,-1,-1,1],[0,1,0,-1],[0,1,0,-1]]$
Da cui ricavo che il rango vale 1, quindi non ho soluzioni per $h=1$.
Quindi dalle informazioni che ho ricavato escluderei le risposte 1,2,3 e la 5 e prenderei per vera la 4.
Siccome ho sempre qualche dubbio tutte le volte che rispondo "le altre risposte sono errate" mi chiedevo se qualcuno può dare un'occhiata a questo esercizio e darmi qualche buon consiglio su come risolverlo, in quanto sono convinto che non sia questo il metodo corretto (c'ho messo più di mezz'ora,mentre dovrei rispondere in 10/12 minuti secondo i tempi dell'esame).
Grazie in anticipo a tutti!
Purtroppo il seguente esercizio apparentemente molto semplice (probabilmente lo è effettivamente) mi ha mandato in crisi.
Come sempre mi si chiede di individuare la risposta corretta.
Si consideri al variare del parametro h il seguente sistema di 3 equazioni in 3 incognite:
${(x_1-x_2-x_3=1),(hx_1-x_3=0),(2x_1-x_2-2x_3=h):}$
allora:
1)Il sistema ammette $infty^2$ soluzioni se h=0.
2)Ammette un'unica soluzione se h=1.
3)Se il sistema ammette $infty^1$ allora $h^2+h-2=0$.
4)Le altre risposte sono errate.
5)Il sistema ammette sempre infinite soluzioni.
Premetto che non ho idea di cosa stiano a significare i simboli $infty^2$ e $infty^1$.
Credo che per risolvere questo esercizio ci si debba affidare al teorema di Rouchè-Capelli, quindi mi devo calcolare il rango della matrice incompleta e il rango della matrice completa.
Per farlo devo ridurre a squadra le 2 matrici e contare il numero di pivot.
Chiamando $r_1,r_2,r_3$ le rispettive righe, incomincio con la matrice incompleta:
$[[1,-1,-1],[h,0,-1],[2,-1,-2]]$
a $r_2$ aggiungo $r_1 (-h)$:
$[[1,-1,-1],[0,h,-h-1],[2,-1,-2]]$
a $r_3$ aggiungo $r_1 (-2)$:
$[[1,-1,-1],[0,h,-h-1],[0,1,0]]$
inverto $r_3$ con $r_2$:
$[[1,-1,-1],[0,1,0],[0,h,-h-1]]$
a $r_3$ aggiungo $r_2(-h)$
$[[1,-1,-1],[0,1,0],[0,0,-h-1]]$
A questo punto mi risulta che la matrice incompleta sia triangolare, quindi direi che il suo rango equivale a 3, supposto $h!=-1$, o 2, supposto $h=-1$
Procedo con il calcolo del rango della matrice completa considerando $h!=-1$:
$[[1,-1,-1,1],[h,0,-1,0],[2,-1,-2,h]]$
a $r_2$ aggiungo $r_1(-h)$:
$[[1,-1,-1,1],[0,h,-h-1,-h],[2,-1,-2,h]]$
a $r_3$ aggiungo $r_2(-2)$:
$[[1,-1,-1,1],[0,h,-h-1,-h],[0,1,0,h-2]]$
a $r_3$ aggiungo $r_2(-1/h)$
$[[1,-1,-1,1],[0,h,-h-1,-h],[0,0,1-1/h,h-1]]$
A questo punto direi che per $h!=1$ si ha una sola soluzione in quanto anche la matrice completa ha rango=3, che coincide con il rango di quella incompleta e con il numero di incognite.
Adesso guardo cosa ottengo se $h=1$, devo triangolare la seguente matrice:
$[[1,-1,-1,1],[1,0,-1,0],[2,-1,-2,1]]$
a $r_2$ aggiungo $r_1(-1)$:
$[[1,-1,-1,1],[0,1,0,-1],[2,-1,-2,1]]$
a $r_3$ aggiungo $r_1(-2)$:
$[[1,-1,-1,1],[0,1,0,-1],[0,1,0,-1]]$
Da cui ricavo che il rango vale 1, quindi non ho soluzioni per $h=1$.
Quindi dalle informazioni che ho ricavato escluderei le risposte 1,2,3 e la 5 e prenderei per vera la 4.
Siccome ho sempre qualche dubbio tutte le volte che rispondo "le altre risposte sono errate" mi chiedevo se qualcuno può dare un'occhiata a questo esercizio e darmi qualche buon consiglio su come risolverlo, in quanto sono convinto che non sia questo il metodo corretto (c'ho messo più di mezz'ora,mentre dovrei rispondere in 10/12 minuti secondo i tempi dell'esame).
Grazie in anticipo a tutti!
Risposte
I simboli $ oo^1, oo^2 $ vogliono dire infinito alla 1 soluzioni ( quindi le soluzioni dipendono da un solo parametro libero)o infinito alla 2 soluzioni ( le soluzioni dipendono da due parametri liberi).
Ah ok grazie mille per l'informazione!
Ma per quanto riguarda l'esercizio c'è qualche errore?
Mi pare quasi impossibile che il metodo corretto (o anche migliore) per arrivare a rispondere sia stato quello che ho applicato io...
Ma per quanto riguarda l'esercizio c'è qualche errore?
Mi pare quasi impossibile che il metodo corretto (o anche migliore) per arrivare a rispondere sia stato quello che ho applicato io...
Matrice dei coefficienti $ A =((1,-1,-1),(h,0,-1),(2,-1,-2))$ essendo $det A =1-h $ si ha che :
** se $h ne 1 $ allora $r(A) = 3 $ e anche $r(A|b) =3 $ , essendo $(A|b) $ la matrice completa , quindi per il T. di R.C. si ha una sola soluzione.
** se $h=1 $ , $r(A)=2 $ ed anche $r(A|b) = 2 $ e quindi si hanno soluzioni esattaente $oo ^(n-r)=oo^(3-2)=oo^1 $ soluzioni essendo $n =3$ il numero di incognite e $r=2 $ il rango della matrice .
Considerando le possibili risposte si ha :
1) Non è vera : se $h=0 $ il sistema ha una soluzione
2) Non è vera : se $h=1 $ il sistema ha $oo^1 $ soluzioni
3) Se il sistema ha $oo ^1 $ soluzioni $rarr h^2+h-2=0 $ che comporta $h=-2,h=1 $ e non è vera per $h=-2$ in quanto in tal caso si ha una sola soluzione
4) Vera
5) Non è vera ( se $h ne 1 $ si ha una sola soluzione ).
** se $h ne 1 $ allora $r(A) = 3 $ e anche $r(A|b) =3 $ , essendo $(A|b) $ la matrice completa , quindi per il T. di R.C. si ha una sola soluzione.
** se $h=1 $ , $r(A)=2 $ ed anche $r(A|b) = 2 $ e quindi si hanno soluzioni esattaente $oo ^(n-r)=oo^(3-2)=oo^1 $ soluzioni essendo $n =3$ il numero di incognite e $r=2 $ il rango della matrice .
Considerando le possibili risposte si ha :
1) Non è vera : se $h=0 $ il sistema ha una soluzione
2) Non è vera : se $h=1 $ il sistema ha $oo^1 $ soluzioni
3) Se il sistema ha $oo ^1 $ soluzioni $rarr h^2+h-2=0 $ che comporta $h=-2,h=1 $ e non è vera per $h=-2$ in quanto in tal caso si ha una sola soluzione
4) Vera
5) Non è vera ( se $h ne 1 $ si ha una sola soluzione ).
ok grazie mille per la risposta!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo