Studio forma qudratica Hessiana
Studiando l'Hessiana in un punto critico mi sono imbattuto in:
$A = [(2, -4, -2sqrt(8)), (-4, 4, 2sqrt(8)), (-2sqrt(8), 2sqrt(8), 0)]$
Al fine di determinare gli autovalori sbaglio o esiste i fatto che:
$Tr(A) = lambda1 + lambda2 + lambda3$
$Det(A) = lambda1 * lambda2 * lambda3$
E quindi per la matrice in questione:
$Tr(A) = 6 > 0$
$Det(A) = 32*2 > 0$
Può tornarmi utile o si utilizza solo per matrici 2x2?
Grazie!
$A = [(2, -4, -2sqrt(8)), (-4, 4, 2sqrt(8)), (-2sqrt(8), 2sqrt(8), 0)]$
Al fine di determinare gli autovalori sbaglio o esiste i fatto che:
$Tr(A) = lambda1 + lambda2 + lambda3$
$Det(A) = lambda1 * lambda2 * lambda3$
E quindi per la matrice in questione:
$Tr(A) = 6 > 0$
$Det(A) = 32*2 > 0$
Può tornarmi utile o si utilizza solo per matrici 2x2?
Grazie!
Risposte
"DavidHilbert":
Peraltro, dovrebbe essere piuttosto familiare agli ingegneri, visto che è un argomento di base dei corsi di automatica e controllo dei processi, o come cavolo si chiama adesso... Curioso non lo sia altrettanto presso i matematici!
per la cronaca, non in tutti i corsi di automatica dei corsi di laurea viene citato questo criterio; da quel che ne so, giusto in ingegneria dell'automazione...
"luca.barletta":
per la cronaca, non in tutti i corsi di automatica dei corsi di laurea viene citato questo criterio; da quel che ne so, giusto in ingegneria dell'automazione...
Mica vero, prova un po' a chiedere a zio google! Fra gli altri controesempi, cito il corso di "Fondamenti di automatica" presso la facoltà di ingegneria elettronica del politecnico di Milano.
"Luca D.":
Ho trovato il seguente teorema:
i) H è definita positiva se e solo se $det(A_k) > 0 AA k = 1, 2, ..., n$
i) H è definita negativa se e solo se $(-1)^kdet(A_k) > 0 AA k = 1, 2, ..., n$
Nel nostro caso $det(A_1) > 0$, mentre $det(A_2) < 0$
Quindi l'Hessiana non è nè definita positiva, nè definita negativa.
Allora o non è definita, o è semidefinita positiva o negativa.
Quindi con questo teorema non posso concludere nulla sulla natura del punto critico?
vero... non capisco perchè nessuno ti abbia confermato questo metodo... deriva dalla classica tecnica per trovare la segnatura di un prodotto scalare...
"Thomas":
[quote="Luca D."]Ho trovato il seguente teorema:
i) H è definita positiva se e solo se $det(A_k) > 0 AA k = 1, 2, ..., n$
i) H è definita negativa se e solo se $(-1)^kdet(A_k) > 0 AA k = 1, 2, ..., n$
Nel nostro caso $det(A_1) > 0$, mentre $det(A_2) < 0$
Quindi l'Hessiana non è nè definita positiva, nè definita negativa.
Allora o non è definita, o è semidefinita positiva o negativa.
Quindi con questo teorema non posso concludere nulla sulla natura del punto critico?
vero... non capisco perchè nessuno ti abbia confermato questo metodo... deriva dalla classica tecnica per trovare la segnatura di un prodotto scalare...[/quote]
Già! Però in questo caso non ci torna utile per determinare la natura del punto critico in questione!
"DavidHilbert":
Infatti non ci vuole nulla: $x A x^T > 0$, se $x = (0,1,0)$, ed $x A x^T < 0$, se $x = (1,1,1)$.
Non ho capito come funzione tale teorema..
prendo $x = (0, 1, 0) => [0 1 0][(2, -4, -2sqrt(8)), (-4, 4, 2sqrt(8)), (-2sqrt(8), 2sqrt(8), 0)][(0), (1), (0)] = 4 > 0$
prendo $x = (1, 1, 1) => [1 1 1][(2, -4, -2sqrt(8)), (-4, 4, 2sqrt(8)), (-2sqrt(8), 2sqrt(8), 0)][(1), (1), (1)] = -2 < 0$
Quindi ?
vero... purtroppo non ti so essere d'aiuto allora... cmq dubito che basta che tu ci dia il differenziale secondo della funzione per studiarne il comportamento... anzi no! un caso c'è! se la matrice è non degenere si dimostra che il punto non è nè max nè minimo, ma una sella!... controlla se la matrice è non degenere...
ps:davidhilbert ti vuol dire che esiste un vettore di norma positivo ed uno di norma negativa, quindi la matrice non è definita...
ps:davidhilbert ti vuol dire che esiste un vettore di norma positivo ed uno di norma negativa, quindi la matrice non è definita...
"Thomas":
vero... purtroppo non ti so essere d'aiuto allora... cmq dubito che basta che tu ci dia il differenziale secondo della funzione per studiarne il comportamento... anzi no! un caso c'è! se la matrice è non degenere si dimostra che il punto non è nè max nè minimo, ma una sella!... controlla se la matrice è non degenere...
ps:davidhilbert ti vuol dire che esiste un vettore di norma positivo ed uno di norma negativa, quindi la matrice non è definita...
Il differenziale secondo se ricordo bene è proprio: $x H x^T$ e il suo segno è pari a quello della differenza tra la funzione in un intorno del punto critico e la funzione valutata nel punto critico, ok?
Quindi david ha proposto di studiare il differenziale secondo lungo due direzioni diverse per trovare che lungo $(0, 1, 0)$ si ha un minimo, e lungo $(1, 1, 1)$ un massimo: concludiamo quindi che il punto studiato è di sella?
Visto che l'argomento bene o male è sempre lo stesso, evito di aprire un'altro thread e vi chiedo:
riuscite a capire la natura del punto: $(0, 0, 0)$ per $f(x, y, z) = x^2+ xy^2 + 4z^2 - xz^2 + yz^2$ ?
Il determinante dell'Hessiana è nullo (gli autovalori sono 0, 2 e 8) quindi provo a studiare la funzione in un intorno dell'origine.
Ho provato a calcolare la funzione lungo varie curve e trovo sempre un minimo.. ma non posso certamente concludere che sia un punto di minimo.
Che altre considerazioni potrei fare?
riuscite a capire la natura del punto: $(0, 0, 0)$ per $f(x, y, z) = x^2+ xy^2 + 4z^2 - xz^2 + yz^2$ ?
Il determinante dell'Hessiana è nullo (gli autovalori sono 0, 2 e 8) quindi provo a studiare la funzione in un intorno dell'origine.
Ho provato a calcolare la funzione lungo varie curve e trovo sempre un minimo.. ma non posso certamente concludere che sia un punto di minimo.
Che altre considerazioni potrei fare?
io spero che risponda e/o confermi qualcun altro...
cmq magari prova a scrivere $f(t(h,m,n))$ con $(h,m,n)$ vettore fissato... a questo punto ti trovi
$g(t)=f(t(h,m,n))=t^2(h^2+4m^2)+t^3(h^2m^2-h^2n^2+m^2n^2)$
studiano la funzione $g(t)$ ci sono due casi... o il coefficiente del termine di secondo grado è positivo e allora la funzione si comporta come $t^2$ (minimo), oppure è nullo, e questo solo se $h=0,m=0$. In questo caso si ha però $g(t)=0$, indipendentemente da $n$ e quindi lungo questa direzione la funzione è costantemente nulla (come si può verificare ponendo $x=0,z=0$ nella funzione...
io voterei per un minimo quindi... che ne dici/dite??
cmq magari prova a scrivere $f(t(h,m,n))$ con $(h,m,n)$ vettore fissato... a questo punto ti trovi
$g(t)=f(t(h,m,n))=t^2(h^2+4m^2)+t^3(h^2m^2-h^2n^2+m^2n^2)$
studiano la funzione $g(t)$ ci sono due casi... o il coefficiente del termine di secondo grado è positivo e allora la funzione si comporta come $t^2$ (minimo), oppure è nullo, e questo solo se $h=0,m=0$. In questo caso si ha però $g(t)=0$, indipendentemente da $n$ e quindi lungo questa direzione la funzione è costantemente nulla (come si può verificare ponendo $x=0,z=0$ nella funzione...
io voterei per un minimo quindi... che ne dici/dite??
forse però quanto sopra và corredato da una verifica del tipo:
- per ogni $(h,m,n)$ (con vincolo magari di norma 1), trovare un $r((h,m,n))$ (un tale r esiste per lo studio precedente, e non si deve scegliere "troppo piccolo") t.c. $g(t)>=0$ per ogni vettore in quella direzione di modulo minore di $r((h,m,n))$;
- mostrare che la funzione che ad un vettore di norma 1 associa il suo r ha minimo sulla sfera unitaria (per fare questo basta vedere che questa funzione è continua);
se riesci a fare queste due cose dovresti concludere...
sono curioso però di sapere se ci sono altri metodi...
- per ogni $(h,m,n)$ (con vincolo magari di norma 1), trovare un $r((h,m,n))$ (un tale r esiste per lo studio precedente, e non si deve scegliere "troppo piccolo") t.c. $g(t)>=0$ per ogni vettore in quella direzione di modulo minore di $r((h,m,n))$;
- mostrare che la funzione che ad un vettore di norma 1 associa il suo r ha minimo sulla sfera unitaria (per fare questo basta vedere che questa funzione è continua);
se riesci a fare queste due cose dovresti concludere...
sono curioso però di sapere se ci sono altri metodi...
"Thomas":
io spero che risponda e/o confermi qualcun altro...
cmq magari prova a scrivere $f(t(h,m,n))$ con $(h,m,n)$ vettore fissato... a questo punto ti trovi
Grazie per la risposta, ma non mi è chiaro questo passaggio.
Cos'è $t$? Cosa intendi con $f(t(h,m,n))$?
se $(h,m,n)$ è un vettore di R^3... se lo moltiplico per t con t reale ottango la retta su cui giace quel vettore... quella scrittura è un modo per considerare la restrizione della f su quella retta...
ora scappo...
ora scappo...
"Thomas":
se $(h,m,n)$ è un vettore di R^3... se lo moltiplico per t con t reale ottango la retta su cui giace quel vettore... quella scrittura è un modo per considerare la restrizione della f su quella retta...
ora scappo...
Ah ok, quindi è come valutare $f(th, tm, tn)$. La scrittura $t(h, m, n)$ mi aveva indotto a pensare che t fosse una funzione..
Ora provo a ragionare sulle tue considerazioni
eheh... no intendevo la moltiplicazione 
... fammi sapere le tue conclusioni 
... se c'è qualcosa nel procedimento che non ti convince o non ti è chiaro, chiedi pure che ne discutiamo... anche io sono curioso di sapere se il metodo funziona... purtroppo tecniche "standard" nel caso di hessiano degenere non ne conosco...
... fammi sapere le tue conclusioni ... se c'è qualcosa nel procedimento che non ti convince o non ti è chiaro, chiedi pure che ne discutiamo... anche io sono curioso di sapere se il metodo funziona... purtroppo tecniche "standard" nel caso di hessiano degenere non ne conosco...
"Thomas":
io spero che risponda e/o confermi qualcun altro...
cmq magari prova a scrivere $f(t(h,m,n))$ con $(h,m,n)$ vettore fissato... a questo punto ti trovi
$g(t)=f(t(h,m,n))=t^2(h^2+4m^2)+t^3(h^2m^2-h^2n^2+m^2n^2)$
studiano la funzione $g(t)$ ci sono due casi... o il coefficiente del termine di secondo grado è positivo e allora la funzione si comporta come $t^2$ (minimo), oppure è nullo, e questo solo se $h=0,m=0$. In questo caso si ha però $g(t)=0$, indipendentemente da $n$ e quindi lungo questa direzione la funzione è costantemente nulla (come si può verificare ponendo $x=0,z=0$ nella funzione...
io voterei per un minimo quindi... che ne dici/dite??
Qui consideri che $t^3$ va a zero più velocemente di $t^2$ quindi studi solo il segno dei coefficienti di $t^2$?
Se tale approssimazione è ammissibile allora credo si possa concludere che è un minimo..
beh no Luca... sappiamo solo che è un minimo relativamente alla retta in cui giace un vettore fissato... così sappiamo che per ogni retta vi è un intervallo su quella retta in cui la funzione è positiva, ma invece si deve trovare una intera palla sul piano in cui la funzione è positiva... per trovare la palla sul piano si può trovare l'intervallo su ciascuna direzione e poi prendere il minimo di tutti gli intervalli...
per fare questo si potrebbe mostrare che la funzione che ad ogni direzione associa un intervallo in cui su quella direzione la funzione è positiva è continua, e quindi essendo una funzione continua su un compatto, assume minimo...
per fare questo si potrebbe mostrare che la funzione che ad ogni direzione associa un intervallo in cui su quella direzione la funzione è positiva è continua, e quindi essendo una funzione continua su un compatto, assume minimo...
"Thomas":
beh no Luca... sappiamo solo che è un minimo relativamente alla retta in cui giace un vettore fissato... così sappiamo che per ogni retta vi è un intervallo su quella retta in cui la funzione è positiva, ma invece si deve trovare una intera palla sul piano in cui la funzione è positiva... per trovare la palla sul piano si può trovare l'intervallo su ciascuna direzione e poi prendere il minimo di tutti gli intervalli...
Se sappiamo che per ogni retta vi è un intervallo su quella retta in cui la funzione è positiva, allora non possiamo già concludere che esiste un intorno sferico in cui la funzione è positiva? Come dicevi il raggio di tale intorno sarà il minimo intervallo di tutti gli intervalli. Non possiamo fermarci qui?
no perchè il minimo potrebbe non esistere, però c'è un inf di sicuro... il problema è che questo inf può essere 0... ed è questo che si deve evitare... almeno credo..
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