Studio forma qudratica Hessiana
Studiando l'Hessiana in un punto critico mi sono imbattuto in:
$A = [(2, -4, -2sqrt(8)), (-4, 4, 2sqrt(8)), (-2sqrt(8), 2sqrt(8), 0)]$
Al fine di determinare gli autovalori sbaglio o esiste i fatto che:
$Tr(A) = lambda1 + lambda2 + lambda3$
$Det(A) = lambda1 * lambda2 * lambda3$
E quindi per la matrice in questione:
$Tr(A) = 6 > 0$
$Det(A) = 32*2 > 0$
Può tornarmi utile o si utilizza solo per matrici 2x2?
Grazie!
$A = [(2, -4, -2sqrt(8)), (-4, 4, 2sqrt(8)), (-2sqrt(8), 2sqrt(8), 0)]$
Al fine di determinare gli autovalori sbaglio o esiste i fatto che:
$Tr(A) = lambda1 + lambda2 + lambda3$
$Det(A) = lambda1 * lambda2 * lambda3$
E quindi per la matrice in questione:
$Tr(A) = 6 > 0$
$Det(A) = 32*2 > 0$
Può tornarmi utile o si utilizza solo per matrici 2x2?
Grazie!
Risposte
sì, può tornarti utile
"luca.barletta":
sì, può tornarti utile
Però potrei avere sia tutti gli autovalori positivi (matrice definita positiva) che 2 autovalori negativi e uno positivo (tale che il prodotto sia positivo e la somma positiva -> matrice non definita)
ah, utile dici in quel senso; credevo volessi solo una conferma delle relazioni tra traccia determinante e autovalori; in quel senso allora è come dici te, c'è un'ambiguità
"luca.barletta":
sì, può tornarti utile
La seconda sì, la prima sulla traccia vale solo per matrici diagonali, mi pare...
"amel":
[quote="luca.barletta"]sì, può tornarti utile
La seconda sì, la prima sulla traccia vale solo per matrici diagonali, mi pare...[/quote]
se ne è parlato qui
ah ok....
Come trovereste voi com'è definita quella matrice?
Se calcolo il determinante del polinomio caratteristico non se ne esce..
Se calcolo il determinante del polinomio caratteristico non se ne esce..
Ho trovato il seguente teorema:
i) H è definita positiva se e solo se $det(A_k) > 0 AA k = 1, 2, ..., n$
i) H è definita negativa se e solo se $(-1)^kdet(A_k) > 0 AA k = 1, 2, ..., n$
Nel nostro caso $det(A_1) > 0$, mentre $det(A_2) < 0$
Quindi l'Hessiana non è nè definita positiva, nè definita negativa.
Allora o non è definita, o è semidefinita positiva o negativa.
Quindi con questo teorema non posso concludere nulla sulla natura del punto critico?
i) H è definita positiva se e solo se $det(A_k) > 0 AA k = 1, 2, ..., n$
i) H è definita negativa se e solo se $(-1)^kdet(A_k) > 0 AA k = 1, 2, ..., n$
Nel nostro caso $det(A_1) > 0$, mentre $det(A_2) < 0$
Quindi l'Hessiana non è nè definita positiva, nè definita negativa.
Allora o non è definita, o è semidefinita positiva o negativa.
Quindi con questo teorema non posso concludere nulla sulla natura del punto critico?
in effetti quella matrice ha 2 autovalori negativi e uno positivo, quindi...
comunque, se ti serve un metodo per localizzare gli autovalori, hai una discreta scrematura con i cerchi di gershgorin; in questo caso non sarebbe stato molto di aiuto
Se i miei conti sono giusti si arriva alla equazione caratteristica :
$ lambda^3-6*lambda^2-8*lambda+64 = 0 $ che si può scomporra in $(lambda-4) *(lambda^2-2*lambda-16)=0 $ con radici e quindi autovalori :
$ lambda_1 = 4 $ ; $lambda_2 = 1+sqrt(17) $; $lambda_3 = 1-sqrt(17) $ .
S.E.O.
$ lambda^3-6*lambda^2-8*lambda+64 = 0 $ che si può scomporra in $(lambda-4) *(lambda^2-2*lambda-16)=0 $ con radici e quindi autovalori :
$ lambda_1 = 4 $ ; $lambda_2 = 1+sqrt(17) $; $lambda_3 = 1-sqrt(17) $ .
S.E.O.
"Camillo":
Se i miei conti sono giusti si arriva alla equazione caratteristica :
$ lambda^3-6*lambda^2-8*lambda+64 = 0 $ che si può scomporra in $(lambda-4) *(lambda^2-2*lambda-16)=0 $ con radici e quindi autovalori :
$ lambda_1 = 4 $ ; $lambda_2 = 1+sqrt(17) $; $lambda_3 = 1-sqrt(17) $ .
S.E.O.
non mi torna
"luca.barletta":
in effetti quella matrice ha 2 autovalori negativi e uno positivo, quindi...
Posso chiederti come li hai calcolati?
facendo i soliti calcoletti sono arrivato a
$lambda^3-6lambda^2-72lambda-64=0$
e poi ci si fa aiutare da qualcuno più bravo (matlab?), dato che non ci sono radici intere
$lambda^3-6lambda^2-72lambda-64=0$
e poi ci si fa aiutare da qualcuno più bravo (matlab?), dato che non ci sono radici intere
"luca.barletta":
facendo i soliti calcoletti sono arrivato a
$lambda^3-6lambda^2-72lambda-64$
e poi ci si fa aiutare da qualcuno più bravo (matlab?), dato che non ci sono radici intere
...o meno ingegneristicamente si usa il teorema di Hurwitz-Routh.
"DavidHilbert":
[quote="luca.barletta"]facendo i soliti calcoletti sono arrivato a
$lambda^3-6lambda^2-72lambda-64$
e poi ci si fa aiutare da qualcuno più bravo (matlab?), dato che non ci sono radici intere
...o meno ingegneristicamente si usa il teorema di Hurwitz-Routh.[/quote]
sempre se il buon Luca D. lo conosca
Se non lo conosce, che corra a studiarselo!
"luca.barletta":
[quote="Camillo"]Se i miei conti sono giusti si arriva alla equazione caratteristica :
$ lambda^3-6*lambda^2-8*lambda+64 = 0 $ che si può scomporra in $(lambda-4) *(lambda^2-2*lambda-16)=0 $ con radici e quindi autovalori :
$ lambda_1 = 4 $ ; $lambda_2 = 1+sqrt(17) $; $lambda_3 = 1-sqrt(17) $ .
S.E.O.
non mi torna[/quote]
Infatti son sbagliati i conti
L'equazione caratteristica è : $ lambda^3-6lambda^2-72lambda-64= 0 $ che non ha radici intere...
Il metodo menzionato non lo conosco.. però mi sembra strano che non si riesca a individuare "velocemente" come sia definita la matrice visto che era un esercizio d'esame in teoria da risolvere in pochi minuti.
"Luca D.":
Il metodo menzionato non lo conosco.. però mi sembra strano che non si riesca a individuare "velocemente" come sia definita la matrice visto che era un esercizio d'esame in teoria da risolvere in pochi minuti.
Infatti non ci vuole nulla: $x A x^T > 0$, se $x = (0,1,0)$, ed $x A x^T < 0$, se $x = (1,1,1)$. Dunque la matrice non è definita in segno. Il teorema di Hurwitz-Routh è stato citato unicamente come alternativa intelligente al matlab. Peraltro, dovrebbe essere piuttosto familiare agli ingegneri, visto che è un argomento di base dei corsi di automatica e controllo dei processi, o come cavolo si chiama adesso... Curioso non lo sia altrettanto presso i matematici!
NOTA: la "T" ad apice indica trasposizione.
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