Studio fascio di quadriche (trucco su equazione)
ciao, sto studiando questo fascio di quadriche:
$ x^2 + 2y^2 - kz^2 - 2yz + 4y - k = 0 $
|B| = k(2k+5) (determinante matrice 4x4)
|A| = -2k-1 (determinante matrice 3x3)
Dopo aver esaminato i casi in cui la quadrica è un cono, un paraboloide ellittico e un iperboloide iperbolico, arrivo al caso in cui devo stabilire quando è:
un iperboloide ellittico oppure un ellissoide, cioè quando -5/2 < k < 0, per distingure tra iperboloide ellittico e ellissoide mi servono gli autovalori di A e quindi mi calcolo prima il polinomio caratteristico:
$ -T^3 + (3 - k)T^2 + (3k - 1)T - 2k - 1 $
Ora non riesco a capire perchè arrivato a quasto punto, il mio professore al posto di calcolarsi gli autovalori e guardarne il segno ha scritto direttamente:
Osserviamo che -1 < 0, 3 - k > 0 e 3k - 1 < 0, perchè k < 0. Se -2k - 1 > 0, allora gli autovalori
di A sono dello stesso segno e la quadrica è un ellissoide. Se -2k - 1 > 0, gli autovalori di A sono di
segno diverso e la quadrica è un iperboloide ellittico. In conclusione, per -5/2 < k < -1/2, la quadrica
è un ellissoide. Per -1/2 < k < 0 la quadrica è un iperboloide ellittico.
Come si può capire guardando l'equazione il segno degli autovalori?
$ x^2 + 2y^2 - kz^2 - 2yz + 4y - k = 0 $
|B| = k(2k+5) (determinante matrice 4x4)
|A| = -2k-1 (determinante matrice 3x3)
Dopo aver esaminato i casi in cui la quadrica è un cono, un paraboloide ellittico e un iperboloide iperbolico, arrivo al caso in cui devo stabilire quando è:
un iperboloide ellittico oppure un ellissoide, cioè quando -5/2 < k < 0, per distingure tra iperboloide ellittico e ellissoide mi servono gli autovalori di A e quindi mi calcolo prima il polinomio caratteristico:
$ -T^3 + (3 - k)T^2 + (3k - 1)T - 2k - 1 $
Ora non riesco a capire perchè arrivato a quasto punto, il mio professore al posto di calcolarsi gli autovalori e guardarne il segno ha scritto direttamente:
Osserviamo che -1 < 0, 3 - k > 0 e 3k - 1 < 0, perchè k < 0. Se -2k - 1 > 0, allora gli autovalori
di A sono dello stesso segno e la quadrica è un ellissoide. Se -2k - 1 > 0, gli autovalori di A sono di
segno diverso e la quadrica è un iperboloide ellittico. In conclusione, per -5/2 < k < -1/2, la quadrica
è un ellissoide. Per -1/2 < k < 0 la quadrica è un iperboloide ellittico.
Come si può capire guardando l'equazione il segno degli autovalori?
Risposte
C'è un trucco algebrico per stabilire il segno delle radici di un polinomio reale.
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_Cartesio
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_Cartesio
Grazie 
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