Studio di un'applicazione lineare sfruttando la matrice rappresentativa

[fenghuang]

ciao a tutti! Sto svolgendo degli esercizi su applicazioni lineari e matrici e avrei qualche dubbio al riguardo. In particolare vorrei capire qualcosa di più sulle matrici associate e sulle applicazioni invertibili, e in generale se sto procedendo in maniera corretta negli esercizi che penso di aver capito. In questo caso non so come svolgere la seconda richiesta del seguente esercizio:

per ogni numero reale θ sia $F_θ : \RR^2 -> \RR^2$ l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice

$((cosθ, -sinθ),(sinθ,cosθ))$

i) dimostrare che, se θ e α sono numeri reali, allora $F_θ F_α = F_(θ +α) $
ii)dimostrare che $(F_θ)^(-1) = F_(-θ)$

per quanto riguarda la i) io ho ragionato nel seguente modo:

prendendo in $\RR^2$ la base canonica:

$F_θ(e_1) = a_11 e1 + a_21 e_2$
$F_θ(e_2) = a_12 e1 + a_22 e_2$

ottenendo la matrice

$((a_11,a_21),(a_12,a_22))$

la cui trasposta coincide con la matrice associata a $F_θ$, ovvero

$((a_11,a_21),(a_12,a_22))^t =((a_11,a_12),(a_21,a_22)) = ((cosθ, -sinθ),(sinθ,cosθ))$

da qui ho che

$F_θ F_α (e_1) = F_θ(F_α(e_1)) = F_θ(cosα e_1 + sinα e_2) = cosα F_θ(e_1) + sinα F_θ(e_2) = $

$ = cosα cosθ e_1 + cosα sinθ e_2 - sinα sinθ e_1 + sinα cosθ e_2 =$

$= (cosα cosθ - sinα sinθ)e_1 + ( sinα cosθ + cosα sinθ)e_2 = cos(θ + α)e_1 + sin(θ + α)e_2$

con un ragionamento analogo ottengo che

$F_θ F_α (e_2) = ... = -sin(θ + α)e_1 + cos(θ + α)e_2$

e quindi io direi che $F_θ F_α = F_(θ +α) $ giusto?

per la ii) invece non so come procedere, e qui vi chiedo aiuto. Inoltre mi farebbe comodo sapere se fra la matrice rappresentativa di un'applicazione lineare e la sua inversa vi sono delle relazioni, insomma, un po' della teoria che sta dietro a questo discorso.

ringrazio tutti quanti in anticipo

[vict85]

Per l'1 bastava fare il prodotto di matrici e poi utilizzare le formule trigonometriche per portarti alla forma corretta. Non ho capito la logica del tuo ragionamento.

Per il 2 è uguale: usi la solita formula per l'inversa di una matrice e poi usi le proprietà di seno e coseno per verificare che è la trasformazione che stai cercando.

[fenghuang]

grazie vict85, per la ii) hai risolto più o meno ogni mio dubbio. Quel che dici tu implica però che l'inversa della matrice associata di un'applicazione lineare è a sua volta la matrice associata all'inversa dell'applicazione lineare giusto?

per la i) invece non sono sicuro di seguirti mi spiace..

grazie ancora!

[vict85]

Una volta che dimostri che esiste un isomorfismo tra l'anello (l'algebra in realtà) delle matrici e quella delle trasformazioni lineari è evidente che puoi usare questo isomorfismo avanti e indietro a piacimento. Insomma, la matrice associata alla composizione di due morfismi lineari è il prodotto delle matrici corrispondenti, la matrice associata all'inversa è l'inversa della matrice, la matrice associata al morfismo trasposto è la trasposta della matrice e così via. E così per la somma di applicazioni lineari e la moltiplicazione per uno scalare.

Se non ti convince come cose ti invito a dimostrare la cosa esplicitamente.