Studio di un'applicazione lineare
Salve ragazzi,
premetto che ho già posto altre domande sul forum in cui ho sempre provato a dare risposte complete, come richiesto dal regolamento, però in questo caso non sono riuscito nemmeno ad impostare l'esercizio:
Considera l’endomorfismo $T: M_(2,2)(RR) \to M_(2,2)(RR)$ dato da $T(A) = 2A + 3A^T$ Scrivi la matrice associata a T rispetto ad una base a tua scelta (poi l'esercizio va avanti ma partendo da questo punto saprei risolverlo da solo).
Ovviamente sceglieremo la base canonica, ma non riesco proprio a capire quali elementi inserire nella matrice associata...
Qualcuno può darmi un suggerimento cortesemente?
Grazie a tutti in anticipo
premetto che ho già posto altre domande sul forum in cui ho sempre provato a dare risposte complete, come richiesto dal regolamento, però in questo caso non sono riuscito nemmeno ad impostare l'esercizio:
Considera l’endomorfismo $T: M_(2,2)(RR) \to M_(2,2)(RR)$ dato da $T(A) = 2A + 3A^T$ Scrivi la matrice associata a T rispetto ad una base a tua scelta (poi l'esercizio va avanti ma partendo da questo punto saprei risolverlo da solo).
Ovviamente sceglieremo la base canonica, ma non riesco proprio a capire quali elementi inserire nella matrice associata...
Qualcuno può darmi un suggerimento cortesemente?
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Premesso che non ho provato a risolverlo, se \(T\) è l'endomorfismo \(M_{2,2}(\mathbb{R})\to M_{2,2}(\mathbb{R}) : A\mapsto 2A+3A^T\), allora posti gli endomorfismi \(T_1:A\mapsto 2A\), \(T_2:A\mapsto 3A\) e \(T_3:A\mapsto A^T\), che sia \(T=T_1 + T_2T_3\) ti dice qualcosa?
Una base dello spazio $ M_(2,2)(RR) $ è data da $ {b1=[ ( 1, 0 ),( 0 , 0 ) ] ; b2=[ ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ] ; b3=[ ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ] ; b4=[ ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ] } $.
La matrice associata a $ T $ rispetto a questa scelta di basi (nello spazio di partenza e nello spazio di arrivo) è ottenibile andando a scrivere colonna per colonna i coefficienti della combinazione lineare di ciascun $ T(b_i) $ , $ i=1...4 $ rispetto alla base dello spazio di arrivo.
In poche parole per prima cosa devi vedere come ogni elemento della base di partenza viene trasformato dall'applicazione $ T $ e in seguito devi esprimere il vettore (i.e. l'elemento dello spazio vettoriale) risultante come combinazione lineare della base di arrivo. I coefficienti di questa combinazione lineare costituiscono gli elementi della i-esima colonna della matrice, dove i è l'indice del $ b_i $ vettore della base di partenza. Naturalmente la scelta di stesse basi in partenza e in arrivo (in caso di stessi spazi vettoriali) semplifica i conti, ma nulla vieta di scegliere basi differenti.
Nel tuo caso la prima colonna della matrice, con la scelta di basi suddetta, sarà data da $ [ ( 5 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ] $ perchè $ T([ ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ] ) = \color{red}{5}b1 + \color{red}{0}b2 + \color{red}{0}b3 + \color{red}{0}b4 $.
La matrice associata a $ T $ rispetto a questa scelta di basi (nello spazio di partenza e nello spazio di arrivo) è ottenibile andando a scrivere colonna per colonna i coefficienti della combinazione lineare di ciascun $ T(b_i) $ , $ i=1...4 $ rispetto alla base dello spazio di arrivo.
In poche parole per prima cosa devi vedere come ogni elemento della base di partenza viene trasformato dall'applicazione $ T $ e in seguito devi esprimere il vettore (i.e. l'elemento dello spazio vettoriale) risultante come combinazione lineare della base di arrivo. I coefficienti di questa combinazione lineare costituiscono gli elementi della i-esima colonna della matrice, dove i è l'indice del $ b_i $ vettore della base di partenza. Naturalmente la scelta di stesse basi in partenza e in arrivo (in caso di stessi spazi vettoriali) semplifica i conti, ma nulla vieta di scegliere basi differenti.
Nel tuo caso la prima colonna della matrice, con la scelta di basi suddetta, sarà data da $ [ ( 5 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ] $ perchè $ T([ ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ] ) = \color{red}{5}b1 + \color{red}{0}b2 + \color{red}{0}b3 + \color{red}{0}b4 $.
Grazie a entrambi per le risposte! Considerato quanto suggerito da voi, provo a proporre una soluzione:
Dati i vettori $b1, b2, b3, b4$ della base canonica, come descritto da niccoset, avremo
$T([ ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ] ) = \color{red}{5}b1 + \color{red}{0}b2 + \color{red}{0}b3 + \color{red}{0}b4$
$T([ ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ] ) = \color{red}{0}b1 + \color{red}{2}b2 + \color{red}{3}b3 + \color{red}{0}b4$
$T([ ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ] ) = \color{red}{0}b1 + \color{red}{3}b2 + \color{red}{2}b3 + \color{red}{0}b4$
$T([ ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ] ) = \color{red}{0}b1 + \color{red}{0}b2 + \color{red}{0}b3 + \color{red}{5}b4$
Dunque la matrice M associata all'applicazione lineare sarà data da:
$M=[(5, 0, 0, 0), (0, 3, 2, 0), (0, 2, 3, 0), (0, 0, 0, 5)]$
Corretto
"niccoset":
La matrice associata a $ T $ rispetto a questa scelta di basi (nello spazio di partenza e nello spazio di arrivo) è ottenibile andando a scrivere colonna per colonna i coefficienti della combinazione lineare di ciascun $ T(b_i) $ , $ i=1...4 $ rispetto alla base dello spazio di arrivo.
Dati i vettori $b1, b2, b3, b4$ della base canonica, come descritto da niccoset, avremo
$T([ ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ] ) = \color{red}{5}b1 + \color{red}{0}b2 + \color{red}{0}b3 + \color{red}{0}b4$
$T([ ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ] ) = \color{red}{0}b1 + \color{red}{2}b2 + \color{red}{3}b3 + \color{red}{0}b4$
$T([ ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ] ) = \color{red}{0}b1 + \color{red}{3}b2 + \color{red}{2}b3 + \color{red}{0}b4$
$T([ ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ] ) = \color{red}{0}b1 + \color{red}{0}b2 + \color{red}{0}b3 + \color{red}{5}b4$
Dunque la matrice M associata all'applicazione lineare sarà data da:
$M=[(5, 0, 0, 0), (0, 3, 2, 0), (0, 2, 3, 0), (0, 0, 0, 5)]$
Corretto
Si, apparte il fatto (credo per errore di distrazione) che hai scambiato seconda e terza colonna.
Sì perdonami, errore di distrazione! Grazie mille 
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