Studio di una cubica e sua traccia
salve. ho una domanda da farvi..
quando mi se è dato un esercizio del genere...
studia la cubica $x^2(x-3)=3y^2$ e rappresenta la sua traccia...
cosa devo fare?
dovrei studiare
1)riducibilità e irriducibilità
2)simmetrie
3)intersezioni con gli assi (triedro fondamentale)
4)condizioni di realtà
5)punti singolari e loro tipo
6)flessi e tangenti nel flesso
7)coniche, cubiche ecc.. osculatrici in particolari punti
8)punti a tangente orizzontale e verticale
9)razionalità ed equazione parametrica razionale
vi chiedo poiché sono i primi esercizi e non so come muovermi...
in particolar modo i punti 7)8)9) non saprei come farli, mentre per gli altri potrei avere dei dubbi ma nulla di che...
per la traccia si intende il suo grafico?
quando mi se è dato un esercizio del genere...
studia la cubica $x^2(x-3)=3y^2$ e rappresenta la sua traccia...
cosa devo fare?
dovrei studiare
1)riducibilità e irriducibilità
2)simmetrie
3)intersezioni con gli assi (triedro fondamentale)
4)condizioni di realtà
5)punti singolari e loro tipo
6)flessi e tangenti nel flesso
7)coniche, cubiche ecc.. osculatrici in particolari punti
8)punti a tangente orizzontale e verticale
9)razionalità ed equazione parametrica razionale
vi chiedo poiché sono i primi esercizi e non so come muovermi...
in particolar modo i punti 7)8)9) non saprei come farli, mentre per gli altri potrei avere dei dubbi ma nulla di che...
per la traccia si intende il suo grafico?
Risposte
Se ti interessa tempo fa ho scritto delle funzioni in Mathematica per lo studio delle curve algebriche piane. Stanno qui http://people.sissa.it/~floregi/stuff/CAP.nb
posto qui i risultati ottenuti (alcuni saranno sbagliati) 
1)riducibilità delle curva
dalle definizioni tratte da questa dispensa http://www.mat.unimi.it/users/alzati/pe ... 3-cap1.pdf studio la riducibilità della curva
considero il sistema ${(x^3-3x^2-3y^2=0),( x=k):}$ questo è impossibile
allora considero il sistema ${(x^3-3x^2-3y^2=0),( y=mx+q):}$ anche questo è impossibile quindi la curva è irriducibile.
2)simmetrie
la curva presenta la $y$ al quadrato quindi è simmetrica rispetto all'asse $y$
omogenizzo la curva ottengo $x^3-3x^2z-3y^2z=0$
${(x^3-3x^2z-3y^2z=0),( x=0):}$ la cui soluzione è $A=(0,0,z)$ $B=(0,y,0)$
${(x^3-3x^2z-3y^2z=0),( y=0):}$ la cui soluzione è $C=(0,0,z)$ $D=(3z,0,z)$
${(x^3-3x^2z-3y^2z=0),( Z=0):}$ la cui soluzione è $E=(0,y,0)$
posso considerare $A=C(0,0,1)$ $B=E(0,1,0)$ $D=(3,0,1)$
questi punti risultano tutti semplici.
le tangenti in tali punti $P_i$ si calcolano con la formula $x(df/dx)(P)+y(df/dy)(P)+z(df/dz)(P)=0$
4)la curva non ha condizioni di limitazione nel piano
5) studio dei punti singolari
facendo le derivate della funzione ho che l'unico punto singolare è $o=(0,0,0)$ il quale è punto di molteplicità 2
la tangente in $O$ è il polinomio di grado minore cioè $x^2+y^2=0$ qundi tale punto ha 2 tangenti complesse e coniugate che sono $x-iy=0$ ed $x+iy=0$ quindi è un nodo isolato
6)i flessi sono i punti non singolari appartenenti alla curva e all'hessiana.
qui i conti non mi tornano.
l'hessiana ha equazione: $x^2z-y^2x+y^2=0$ ma no riesco a risolvere il sistema tra hessiana e curva..help!
7)per le coniche, cubiche ecc.. osculatrici in particolari punti non so come procedere.
8)punti a tangente orizzontale e verticale
per i punti a tg verticale studio il sistema
${(x^3-3x^2z-3y^2z=0),( -6y=0):}$ dove $-6y=0$ è la $(df/dy)$ e ottengo come soluzioni $P=(3,0)$ e $O=(0,0)$ da escludere perché è punto singolare
${(x^3-3x^2z-3y^2z=0),( -6x+3x^2=0):}$ dove $-6x+3x^2=0$ è la $(df/dx)$ e ottengo come soluzioni $Q=(2,2i/sqrt3)$
9)razionalità ed equazione parametrica razionale
per capire se la curva è razionale devo vedere se il suo genere è nullo o meno.
dalla formula ho $g(C)=(n-1)(n-2)/2-(k+d)$ dove $k$ sono il numero di cuspidi di prima specie e d i punti doppi ordinari
$n=3$
ottengo $g(C)=1-k$ ma non so il numero di cuspidi di prima specie..
facendo prima l'intersezione tra la curva e la tangente $x-iy=0$e poi tra la curva e la tangente $x+iy=0$ ottengo che la soluzione $O=(0,0)$ ha molteplicità 3 quindi è una cuspide di prima specie.
quindi avrei che $g(C)=1-k=1-1=0$ e la curva è razionale. ora devo trovare l'eq parametrica razionale
1)riducibilità delle curva
dalle definizioni tratte da questa dispensa http://www.mat.unimi.it/users/alzati/pe ... 3-cap1.pdf studio la riducibilità della curva
considero il sistema ${(x^3-3x^2-3y^2=0),( x=k):}$ questo è impossibile
allora considero il sistema ${(x^3-3x^2-3y^2=0),( y=mx+q):}$ anche questo è impossibile quindi la curva è irriducibile.
2)simmetrie
la curva presenta la $y$ al quadrato quindi è simmetrica rispetto all'asse $y$
omogenizzo la curva ottengo $x^3-3x^2z-3y^2z=0$
${(x^3-3x^2z-3y^2z=0),( x=0):}$ la cui soluzione è $A=(0,0,z)$ $B=(0,y,0)$
${(x^3-3x^2z-3y^2z=0),( y=0):}$ la cui soluzione è $C=(0,0,z)$ $D=(3z,0,z)$
${(x^3-3x^2z-3y^2z=0),( Z=0):}$ la cui soluzione è $E=(0,y,0)$
posso considerare $A=C(0,0,1)$ $B=E(0,1,0)$ $D=(3,0,1)$
questi punti risultano tutti semplici.
le tangenti in tali punti $P_i$ si calcolano con la formula $x(df/dx)(P)+y(df/dy)(P)+z(df/dz)(P)=0$
4)la curva non ha condizioni di limitazione nel piano
5) studio dei punti singolari
facendo le derivate della funzione ho che l'unico punto singolare è $o=(0,0,0)$ il quale è punto di molteplicità 2
la tangente in $O$ è il polinomio di grado minore cioè $x^2+y^2=0$ qundi tale punto ha 2 tangenti complesse e coniugate che sono $x-iy=0$ ed $x+iy=0$ quindi è un nodo isolato
6)i flessi sono i punti non singolari appartenenti alla curva e all'hessiana.
qui i conti non mi tornano.
l'hessiana ha equazione: $x^2z-y^2x+y^2=0$ ma no riesco a risolvere il sistema tra hessiana e curva..help!
7)per le coniche, cubiche ecc.. osculatrici in particolari punti non so come procedere.
8)punti a tangente orizzontale e verticale
per i punti a tg verticale studio il sistema
${(x^3-3x^2z-3y^2z=0),( -6y=0):}$ dove $-6y=0$ è la $(df/dy)$ e ottengo come soluzioni $P=(3,0)$ e $O=(0,0)$ da escludere perché è punto singolare
${(x^3-3x^2z-3y^2z=0),( -6x+3x^2=0):}$ dove $-6x+3x^2=0$ è la $(df/dx)$ e ottengo come soluzioni $Q=(2,2i/sqrt3)$
9)razionalità ed equazione parametrica razionale
per capire se la curva è razionale devo vedere se il suo genere è nullo o meno.
dalla formula ho $g(C)=(n-1)(n-2)/2-(k+d)$ dove $k$ sono il numero di cuspidi di prima specie e d i punti doppi ordinari
$n=3$
ottengo $g(C)=1-k$ ma non so il numero di cuspidi di prima specie..
facendo prima l'intersezione tra la curva e la tangente $x-iy=0$e poi tra la curva e la tangente $x+iy=0$ ottengo che la soluzione $O=(0,0)$ ha molteplicità 3 quindi è una cuspide di prima specie.
quindi avrei che $g(C)=1-k=1-1=0$ e la curva è razionale. ora devo trovare l'eq parametrica razionale
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