Studio di un sottospazio
Studiare i sottospazi di $R^4, A=[(x,y,z,t):x-2y+t=0] B=[<-1,-2,-4,1>,<3,1,2,0>]$
Lo studio del sottospazio so farlo se mi da l'equazione come in A ma se ho un sottospazio di tipo B come devo fare per passare dai vettori all'equazione??
Lo studio del sottospazio so farlo se mi da l'equazione come in A ma se ho un sottospazio di tipo B come devo fare per passare dai vettori all'equazione??
Risposte
Per quanto riguarda $B$, puoi procedere nel modo seguente.
Una volta che ti sei assicurato che i due vettori di B formano un sistema linearmente indipendente allora sai che comunque prendi un punto $P=(x,y,z,t) in RR^4 => P in B <=> rg((x,y,z,t),(-1,-2,-4,1),(3,1,2,0))=2$ cioè quando tutti i minori di ordine 3 hanno determinante nullo. In questo modo trovi le equazioni di B
Una volta che ti sei assicurato che i due vettori di B formano un sistema linearmente indipendente allora sai che comunque prendi un punto $P=(x,y,z,t) in RR^4 => P in B <=> rg((x,y,z,t),(-1,-2,-4,1),(3,1,2,0))=2$ cioè quando tutti i minori di ordine 3 hanno determinante nullo. In questo modo trovi le equazioni di B
Non ho capito molto bene 
devo calcolare il rango della matrice che hai scritto?
devo calcolare il rango della matrice che hai scritto?
No!
Allora...una volta che ti sei assicurato che i due vettori di B sono effettivamente dei generatori e che formano una base allora sicuramente sai che B che è un sottospazio di dimensione 2. Ora per trovare le equazioni che lo rappresentano dei imporre la condizione che ti ho scritto sopra, cioè detto in parole: qualunque altro vettore di coordinate generiche $(x,y,z,t)$ apparterrà a B se e solo se il rango della matrice formata dai vettori che generano B più questo vettore non aumenta, cioè rimane sempre 2. Perchè nel caso in cui aumentasse, cioè se ad esempio fosse 3 allora vuol dire che i due vettori di B più il vettore $(x,y,z,t)$ andrebbero a formare un sistema linearmente indipendente, e ciò è un assurdo perchè la dimensione di B è 2.
Allora...una volta che ti sei assicurato che i due vettori di B sono effettivamente dei generatori e che formano una base allora sicuramente sai che B che è un sottospazio di dimensione 2. Ora per trovare le equazioni che lo rappresentano dei imporre la condizione che ti ho scritto sopra, cioè detto in parole: qualunque altro vettore di coordinate generiche $(x,y,z,t)$ apparterrà a B se e solo se il rango della matrice formata dai vettori che generano B più questo vettore non aumenta, cioè rimane sempre 2. Perchè nel caso in cui aumentasse, cioè se ad esempio fosse 3 allora vuol dire che i due vettori di B più il vettore $(x,y,z,t)$ andrebbero a formare un sistema linearmente indipendente, e ciò è un assurdo perchè la dimensione di B è 2.
Grazie ad entrambi, ora ho capito e posso studiare i sottospazi.
p.s. ma posso studiare un sottospazio anche senza avere le equazioni?
p.s. ma posso studiare un sottospazio anche senza avere le equazioni?
Si, dipende anche dalle richieste dell'esercizio. Se nel caso del sottospazio B ti avesse chiesto solo la dimensione potevi evitare di cercare le equazioni
Va bene grazie 
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