Studio di un endomorfismo...
ciao a tutti...vorrei delle spiegazioni chiare su cosa si intende lo studio di un ENDOMORFISMO...
io ho provato a gestire l'esercizio in questo modo :
- calcolo il rango della matrice formata dai vettori dell'andomorfismo; rk=Im f
- din Ker f = dim sottospazio- dim Im f
-ho trovato una base dell' Im f
- se il det della mia matrice è diverso da zero allora è un AUTOMORFISMO
-se è uguale a zero ?? NON SO COSA SARA'
Poi mi calcolo il polinomio caratteristico ed i relativi autovalori per vedere se è semplice(diagonalizzabile) o meno!
giusto?
io ho provato a gestire l'esercizio in questo modo :
- calcolo il rango della matrice formata dai vettori dell'andomorfismo; rk=Im f
- din Ker f = dim sottospazio- dim Im f
-ho trovato una base dell' Im f
- se il det della mia matrice è diverso da zero allora è un AUTOMORFISMO
-se è uguale a zero ?? NON SO COSA SARA'
Poi mi calcolo il polinomio caratteristico ed i relativi autovalori per vedere se è semplice(diagonalizzabile) o meno!
giusto?
Risposte
Quando il determinante della matrice è $0$ vuol dire che sicuramente è diagonalizzabile ed è una matrice simmetrica, hai un un autovalore del tipo $lambda=0$
Spero di non sbagliarmi
Spero di non sbagliarmi
@clever: Con questo post sei riuscito a sbagliare TUTTO lo sbagliabile. Complimenti.
"clever":
Quando il determinante della matrice è $0$ vuol dire che sicuramente è diagonalizzabile ed è una matrice simmetrica, hai un un autovalore del tipo $lambda=0$
Spero di non sbagliarmi
No, clever, mi dispiace, ma quanto affermi è scorretto (sia grammaticalmente, sia matematicamente).
In linea di massima, 3lyy, ciò che scrivi è corretto, anche se la terminologia non è esattamente precisa.
Quando hai un endomorfismo di uno spazio vettoriale $f: V to V$, per prima cosa scrivi la matrice associata rispetto a una base a quest'endomorfismo. Il rango di questa matrice è la dimensione dell'immagine, il nullspace della matrice è il nucleo.
Una base dell'immagine la trovi prendendo un numero di colonne linearmente indipendenti pari al rango.
Ancora, se il determinante è non nullo, allora la matrice ha rango massimo e l'endomorfismo è invertibile (è biettivo): quindi è un automorfismo.
Se il determinante è nullo, tutto ciò che puoi dire è che non è automorfismo: devi determinare immagine e nucleo.
Poi - se richiesto - procedi al calcolo del polinomio caratteristico e fai tutte le considerazioni del caso circa la semplicità dell'endomorfismo.
Spero di esserti stato utile.
"Paolo90":
[quote="clever"]Quando il determinante della matrice è $0$ vuol dire che sicuramente è diagonalizzabile ed è una matrice simmetrica, hai un un autovalore del tipo $lambda=0$
Spero di non sbagliarmi
No, clever, mi dispiace, ma quanto affermi è scorretto (sia grammaticalmente, sia matematicamente).
In linea di massima, 3lyy, ciò che scrivi è corretto, anche se la terminologia non è esattamente precisa.
Quando hai un endomorfismo di uno spazio vettoriale $f: V to V$, per prima cosa scrivi la matrice associata rispetto a una base a quest'endomorfismo. Il rango di questa matrice è la dimensione dell'immagine, il nullspace della matrice è il nucleo.
Una base dell'immagine la trovi prendendo un numero di colonne linearmente indipendenti pari al rango.
Ancora, se il determinante è non nullo, allora la matrice ha rango massimo e l'endomorfismo è invertibile (è biettivo): quindi è un automorfismo.
Se il determinante è nullo, tutto ciò che puoi dire è che non è automorfismo: devi determinare immagine e nucleo.
Poi - se richiesto - procedi al calcolo del polinomio caratteristico e fai tutte le considerazioni del caso circa la semplicità dell'endomorfismo.
Spero di esserti stato utile.
[/quote]grazie Paolo... quindi avevo capito bene...
x quanto riguarda lo studio della semplicità come procedo?
Determini i miei autovalori se ne ho 3 distinti allora x definizione è semplice l'endomorfismo...ma se così non fosse come procedo? grazie
Prego figurati. 
Per quanto riguarda la semplicità, ci sono i criteri di diagonalizzazione... li hai studiati?
Per quanto riguarda la semplicità, ci sono i criteri di diagonalizzazione... li hai studiati?
Grazie per il "supporto"...
Si si li ho studiati...
in base alla molteplicità algebrica e quella geometrica giusto? il problema sorge sulle applicazioni scritte!
Faccio bene a dare una giustificazione puramente teorica quando ho 3 autovalori tutti distinti?
Si si li ho studiati...
in base alla molteplicità algebrica e quella geometrica giusto? il problema sorge sulle applicazioni scritte!
Faccio bene a dare una giustificazione puramente teorica quando ho 3 autovalori tutti distinti?
"3lyy":
Grazie per il "supporto"...
Si si li ho studiati...
in base alla molteplicità algebrica e quella geometrica giusto? il problema sorge sulle applicazioni scritte!
Faccio bene a dare una giustificazione puramente teorica quando ho 3 autovalori tutti distinti?
Non ho capito bene cosa intendi. Comunque io conosco questo
Teorema. Dato un endomorfismo $f:V to V$, i seguenti fatti sono equivalenti:
1. $f$ è semplice (ammette una base di autovettori);
2. $V_(lambda_1) oplus V_(lambda_2) oplus ... oplus V_(lambda_k) = V$
3. $"dim" V_(lambda_1) + "dim" V_(lambda_2) + ... + "dim" V_(lambda_k) = "dim"V$
4. il polinomio caratteristico di $f$ ha tutte le radici reali e, per ogni radice, molt. algebrica e geometrica coincidono.
Segue come corollario, che se $V$ ha dimensione $n$ e $f$ ha $n$ autovalori distinti, allora $f$ è semplice. (perchè?
)
"Paolo90":
Non ho capito bene cosa intendi. Comunque io conosco questo
Teorema. Dato un endomorfismo $f:V to V$, i seguenti fatti sono equivalenti:
1. $f$ è semplice (ammette una base di autovettori)
3. $"dim" V_(lambda_1) + "dim" V_(lambda_2) + ... + "dim" V_(lambda_k) = "dim"V$
Segue come corollario, che se $V$ ha dimensione $n$ e $f$ ha $n$ autovalori distinti, allora $f$ è semplice. (perchè?
il 1) punto l'ho capito
il 2) punto devo sostituire il valore di (lambda_1) (lambda_2)...(lambda_k) nella mia matrice e trovo la dimensione?
La tua domanda mi mette in crisi...meglio nn rispondere per non fare strafalcioni...sono andata benino fino ad ora
Con $lambda_i$ intendo il generico autovalore e con $V_(lambda_i)$ il relativo autospazio. E la dimensione dell'autospazio la si trova calcolando il nullspace di $(A-lambdaI)$. (forse era questo che intendevi con "sostituire nella matrice")
Quanto alla mia domanda
non è difficile: pensaci. Tu hai tutti autovalori distinti, ciascuno di molteplicità algebrica $1$: quindi quanto può valere la loro molt. geometrica?
Quanto alla mia domanda
non è difficile: pensaci. Tu hai tutti autovalori distinti, ciascuno di molteplicità algebrica $1$: quindi quanto può valere la loro molt. geometrica?
"Paolo90":
Con $lambda_i$ intendo il generico autovalore e con $V_(lambda_i)$ il relativo autospazio. E la dimensione dell'autospazio la si trova calcolando il nullspace di $(A-lambdaI)$. (forse era questo che intendevi con "sostituire nella matrice")
Quanto alla mia domanda
che cosa è il nullspace?
la dimensione dell'autospazio la calcolo sostituendo i valori di $lambda$ trovati nella mia matrice $(A-lambdaI)$ che mi sono costruita! no? nella pratica degli esercizi come procedo se ho 2 autovalori?
la loro molteplicità algebrica è la radice reale...per esempio (1-$lambda$) m.a. =1 (2+$lambda$)*2 m.a. =2
risposta alla tua domanda : m.g =1 ?
"3lyy":
la dimensione dell'autospazio la calcolo sostituendo i valori di $lambda$ trovati nella mia matrice $(A-lambdaI)$ che mi sono costruita!
E poi che cosa fai? Voglio dire, dopo aver sostituito il valore di $lambda$ in A che cosa fai?
nella pratica degli esercizi come procedo se ho 2 autovalori?
Non ho capito.
risposta alla tua domanda : m.g =1 ?
Certo. Quindi...
"Paolo90":
[quote="3lyy"] la dimensione dell'autospazio la calcolo sostituendo i valori di $lambda$ trovati nella mia matrice $(A-lambdaI)$ che mi sono costruita!
E poi che cosa fai? Voglio dire, dopo aver sostituito il valore di $lambda$ in A che cosa fai?
nella pratica degli esercizi come procedo se ho 2 autovalori?
Non ho capito.
risposta alla tua domanda : m.g =1 ?
Certo. Quindi...[/quote]
quindi m.a =m.g
ma questo è per assurdo non sempre è così!
quello che ho scritto prima non ha senso... xkè non ho capito come si fa a dire che un endomorfismo è semplice avendo solo 2 autovaliri...!
"3lyy":
quindi m.a =m.g
ma questo è per assurdo non sempre è così!
Per assurdo? Ma che cosa vuol dire? Per piacere, respira, stai tranquilla e rileggi un attimo i tuoi messaggi prima di postarli.
Certamente la molteplicità algebrica non è sempre uguale a quella geometrica.
Infatti, la relazione è $1<="dim" V_(lambda_i) <=m_(lambda_i)$, dove con $m_(lambda_i)$ intendo la molteplicità algebrica dell'autovalore.
quello che ho scritto prima non ha senso... xkè non ho capito come si fa a dire che un endomorfismo è semplice avendo solo 2 autovaliri...!
Ma chi? Chi è l'endomorfismo? In che spazio sei? Come sono questi due autovalori? Uguali? Distinti? Devi scrivere meglio, essere più precisa se vuoi aiuto.
ok...allora :
Tu mi hai detto prima che se ho tutti autovalori distinti, ciascuno di molteplicità algebrica 1,quanto può valere la loro molt. geometrica? io ti ho risposto 1 .
Quindi m.a $-=$ m.g. $-=$ 1 Ma non sempre è così!
IL mio endomorfismo è in $RR^3$ ed ho 2 autovalori distinti...
Sicuramente per definizione non avendo 3 autovalori distinti non è diagonalizzabile... però nn penso che l'esercizio finisca così..devo sicuramente fare altre considerazioni,ossia sulla molteplicità algebrica e geometrica...ma come?!
Tu mi hai detto prima che se ho tutti autovalori distinti, ciascuno di molteplicità algebrica 1,quanto può valere la loro molt. geometrica? io ti ho risposto 1 .
Quindi m.a $-=$ m.g. $-=$ 1 Ma non sempre è così!
IL mio endomorfismo è in $RR^3$ ed ho 2 autovalori distinti...
Sicuramente per definizione non avendo 3 autovalori distinti non è diagonalizzabile... però nn penso che l'esercizio finisca così..devo sicuramente fare altre considerazioni,ossia sulla molteplicità algebrica e geometrica...ma come?!
Assolutamente no!!!!!!!!!!!
Non è detto che un endomorfismo diagonalizzabile debba avere tutti gli autovalori distinti.
Affinchè un endomorfismo sia diagonalizzabile deve verificarsi che m.g(lambda)=m.a.(lambda).
Non è detto che un endomorfismo diagonalizzabile debba avere tutti gli autovalori distinti.
Affinchè un endomorfismo sia diagonalizzabile deve verificarsi che m.g(lambda)=m.a.(lambda).
Per cortesia, un po' di attenzione.
Io non ho mai detto che un endomorfismo è diagonalizzabile se ha tutti autovalori distinti (frase che ha ben poco senso, scritta così). Io ho detto (pregasi guardare messaggio originale):
il che è ben diverso.
Prima di mettere in bocca a certa gente alcune affermazioni, sarebbe il caso di leggere bene quello che è stato scritto.
Grazie.
Io non ho mai detto che un endomorfismo è diagonalizzabile se ha tutti autovalori distinti (frase che ha ben poco senso, scritta così). Io ho detto (pregasi guardare messaggio originale):
"Paolo90":
Segue come corollario, che se $V$ ha dimensione $n$ e $f$ ha $n$ autovalori distinti, allora $f$ è semplice.
il che è ben diverso.
Prima di mettere in bocca a certa gente alcune affermazioni, sarebbe il caso di leggere bene quello che è stato scritto.
Grazie.
"Paolo90":
Per cortesia, un po' di attenzione.
Io non ho mai detto che un endomorfismo è diagonalizzabile se ha tutti autovalori distinti (frase che ha ben poco senso, scritta così). Io ho detto (pregasi guardare messaggio originale):
[quote="Paolo90"]
Segue come corollario, che se $V$ ha dimensione $n$ e $f$ ha $n$ autovalori distinti, allora $f$ è semplice.
il che è ben diverso.
Prima di mettere in bocca a certa gente alcune affermazioni, sarebbe il caso di leggere bene quello che è stato scritto.
Grazie.[/quote]
infatti mica ho scritto che tu avevi detto questo? ho scritto endomorfismo diagonalizzabile?
tu però mi hai scritto questo:
Quanto alla mia domanda non è difficile: pensaci. Tu hai tutti autovalori distinti, ciascuno di molteplicità algebrica : quindi quanto può valere la loro molt. geometrica?
fatto sta che non mi avete aiutato... o non mi hai aiutato(so che non è un tuo dovere però)...stai girando attorno al discorso senza dare un aiuto concreto...! grazie
"3lyy":
[quote="Paolo90"]Per cortesia, un po' di attenzione.
Io non ho mai detto che un endomorfismo è diagonalizzabile se ha tutti autovalori distinti (frase che ha ben poco senso, scritta così). Io ho detto (pregasi guardare messaggio originale):
[quote="Paolo90"]
Segue come corollario, che se $V$ ha dimensione $n$ e $f$ ha $n$ autovalori distinti, allora $f$ è semplice.
il che è ben diverso.
Prima di mettere in bocca a certa gente alcune affermazioni, sarebbe il caso di leggere bene quello che è stato scritto.
Grazie.[/quote]
infatti mica ho scritto che tu avevi detto questo? ho scritto endomorfismo diagonalizzabile?
[/quote]
E infatti io non mi rivolgevo a te, ma a biggest.
fatto sta che non mi avete aiutato... o non mi hai aiutato(so che non è un tuo dovere però)...stai girando attorno al discorso senza dare un aiuto concreto...! grazie
Scusa se mi sforzavo per aiutarti ad arrivarci da sola: non pensi che un minimo di sforzo per capire da parte tua sia indispensabile?
Comunque sia, visto che non abbiamo tempo da perdere: prendi $V$, di dimensione $n$. Se $f:V to V$ ha $n$ autovalori tutti distinti allora è diagonalizzabile. Infatti, la molteplicità algebrica di ogni autovalore è per forza 1 (th. fond. algebra), e quella geometrica non può che coincidere con essa (dovendo essere compresa tra 1 e 1, in questo caso).
Pertanto, è soddisfatto il 4 criterio di diagonalizzazione, tutte le radici sono reali e la molt. geometrica coincide con quella algebrica: fine, l'endomorfismo è semplice.
Questa è la risposta alla mia domanda.
Quanto al tuo problema e, in generale, allo studio della semplicità di un endomorfismo, non resta che fare appello a quei quattro criteri: dici che hai un endomorfismo di $RR^3$ e hai trovato due autovalori distinti. Quanto vale la loro molteplicità algebrica? E la dimensione degli autospazi?
Rispondi a queste domande (medita bene prima di scrivere di "getto") e poi facci sapere.
P.
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