Studio di un endomorfismo

[ludwigZero]

Salve!
Ho qui un esercizio su endomorfismo (e la filosofia di tale esercizio è fare il meno dei calcoli possibili...)

$f(x,y,z)=(2x+3y-z, -y+z, -6y+4z)$

matrice associata:
$A=((2,0,0),(3,-1,-6),(-1,1,4))$

$|A|=4$ non singolare

1) dimensioni dell'Im e del ker
dato che sono tutti e tre vettori L.I (me ne accorgo dal fatto che ha rango massimo) $dim Ker f = 0$ e $dim Im f = 3$
2) autovalori, autovettori, autospazi
autovalori
$A=((2-t,0,0),(3,-1-t,-6),(-1,1,4-t))$

$t=2$ $m.a = 2$
$t=1$ $m.a=1$

autovettori:
$t=2$

$((0,0,0),(3,-3,-6),(-1,1,2))$
sistema omogeneo associato:
$0 x + 0 y + 0 z =0$
$3x-3y-6z=0$
$-x+y+2z=0$

da cui: $x=y+2z$ e dunque $(y+2z,y,z)$
$y=0$ $z=1$ $(2,0,1)$
$y=1$ $z=0$ $(1,1,0)$
$m.g=2$

autospazio associato: $E(2)={(2,0,1),(1,1,0)}$

$t=1$
$((1,0,0),(3,-2,-6),(-1,1,3))$

dal sistema associato viene che: $(0,-3z,z)$
possibile autovettore: $(0,-3,1)$ $m.g=1$

autospazio associato: $E(1)=(0,-3,1)$

3) trovare una base ortonormale di $R^3$ contenente due autovettori di $f$

il problema che ho trovato è che gli autovettori che ho trovato nessuno di essi è ortogonale ... quindi avevo pensato di trovare una condizione affinchè mi si dia l'ortogonalità cioè:
$(0,-3z,z)(y+2z,y,z)=0$
$-3zy + z^2 = 0$
$z(-3y+z)=0$
$z=0$
$z=3y$

quindi due vettori possibili per la base ortonormale è:
$(x,y,0)$
$(x,y,3y)$

il terzo vettore lo troverai tramite una condizione del tipo:
$(a,b,c)(x,y,0)=0$
$(a,b,c)(x,y,3y)=0$

o più elegantemente:
$(x,y,0),(x,y,3y)$
dai quali minori mi trovo un terzo vettore...

/credo di aver spiegato quest ultima parte con i piedi ma non so come descriverla meglio!\

spero in vostre delucidazioni!

[ciampax]

Ma perché non usi direttamente Graham-Schmidt? Hai tre vettori, ortonormalizzali. Il metodo è qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Ortogonali ... 7algoritmo

EDIT: ora che ci penso, tu un prodotto scalare non ce l'hai. ergo non è quella la strada. Però dovresti tenere presente che la decomposizione in autospazi è una somma diretta, per cui...

[ludwigZero]

ah quindi autovalori e autevottori e autospazi sono giusti?
pensavo addirittura di aver sbagliato la matrice iniziale :S
quindi, anche se i tre vettori che mi escono dagli autospazi non sono tra loro ortonormalizzati posso sempre renderli tali con tale metodo?
l'altro suggerimento non ce l'ho molto presente : /