Studio di sottospazi

[zio_mangrovia]

Dato il seguente esercizio:

gli spazi $X = ⟨ (1,−1,1) , (1,1,1) ⟩$ e $Y = ⟨ (0,1,2),(2,1,1),(−2,1,3) ⟩$ verificano:

$A$: la loro somma è diretta
$B$: $X=Y$
$C$: $X⊂Y$
$D$: ${0}⊂X∩Y⊂X$
$E$: nessuna delle altre

La soluzione è la $D$ ma non la capisco, di seguito il mio ragionamento:


1.
Provo prima a studiare se $X⊂Y$ quindi ho come incognite $y_1, y_2, y_3$ del seguente sistema:

$((0,2,-2,-1,-1),(1,1,1,1,-1),(2,1,3,-1,-1))$ e ottengo $((1,1,1,1,-1),(0,2,-2,-1,-1),(0,0,0,-7,1))$
deduco pertanto che $X⊂Y$ non è vera in quanto non ho ottenuto come pivot tutte e 3 le variabili $y_1, y_2, y_3$.
Corretto?

2.
Non studio se $Y⊂X$ in quanto escludo da subito $X=Y$ essendo fallita la verifica al punto precedente.
Corretto?

3.non mi resta che studiare $X∩Y$ dove le incognite sono tutte le variabili $y_1, y_2, y_3, x_1, x_2$

$((0,2,-2,1,1),(1,1,1,-1,1),(2,1,3,1,1))$ e ottengo $((1,1,1,-1,1),(0,2,-2,1,1),(0,0,0,7,-1))$
i pivot sono $y_1, y_2, x_1$ quindi $X∩Y$ si può esprimere in funzione di $y_3, x_2$ ottenendo il sottospazio intersezione avente dimensione $2$ e quindi generato da $2$ vettori $inRR^5$ Corretto?

Poi mi fermo perché non ho più certezza di niente!!!

[siddy98]

In questo momento non ho tempo di decifrare per bene la tua soluzione, magari darò un'occhiata domani e scriverò una risposta più completa. In ogni caso, vorrei farti notare, se non l'hai già fatto, che la D è banalmente vera, e quindi potevi risparmiarti di ragionare sulle altre. Infatti, il vettore nullo appartiene a tutti i sottospazi di uno spazio vettoriale, e dunque segue subito che $\{0\}\subset X\cap Y$. Che $X\cap Y \subset X$ è, invece, un fatto ovvio di teoria degli insiemi.