Studio di curva + fasci di coniche + coniche osculatrici

[celeste4]

Ciao! mi sto incastrando e credo un po' su come devo procedere nello studiare una curva...mi date una dritta? ad esempio, prendendone una semplice semplice:

$f(x,y)=y^2-x^3$

1)simmetrie: la y compare solo con potenze pari, quindi c'è simmetria risp all'asse x.
Inoltre posso subito escludere tutto il semiasse delle x negative.

2)intersezioni con gli assi: solo nel punto (0,0)

3)punti singolari al finito: metto a sistema la curva e le derivate parziali:

$\{(y^2-x^3=0),(3x^2=0),(2y=0):}

Vedo che l'origine è punto doppio.
Ora: come calcolo la o le tangenti in (0,0) se le derivate prime sono nulle?
poi, che devo fare? cerco i punti improprio omogeneizzando e poi?

Grazie mille per l'aiuto...

[celeste4]

Altre due domande:
- se ho un fascio di coniche...come trovo la conica del fascio tangente a una data retta?

- qual è la condizione affinché due coniche siano osculatrici o iperosculatrici in un punto?