Studio del sistema al variare del parametro e interpretare
Salve a tutti.
La mia curva di ansia sale sempre più all'avvicinarsi del 12, data X della prova, quindi mi rivolgo ancora a voi Santi nel web.
Stavolta il problema in questione è il seguente:
Studiare al variare del parametro $ lambda $ il sistema $ { ( x+y-z=lambda ),( x+y=0 ),( z=0 ):} $ ed interpretare geometricamente i risultati come mutue intersezioni di tre piani.
Stavolta però almeno un tentativo lo vanto.
Ovviamente mi affido tantissimo a voi, che lo risolverete facile come un cruciverba di topolino.
Più di tutto, mi piacerebbe imparare la corretta sequenza di risoluzione.
Io sono partito con la scrittura della matrice $ A= ( ( 1 , 1 , -1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ e poi ho scritto la matrice
$ B=( ( 1 , 1 , -1 , lambda ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $
Il sistema è compatibile se e solo se $ r(A) = r(B) $
Quindi dopo devo calcolare il $ det(A) $ che, se è diverso da 0, mi dirà che $ r(A)=3 $ altrimenti dovrò calcolare il determinante delle sottomatrici.
Ovviamente non singolarmente ma con il metodo di Gauss.
Sbaglio?
Dopo come si prosegue?
Come si fa ad interpretare i risultati come mutue intersezioni?
Profondamente grato
La mia curva di ansia sale sempre più all'avvicinarsi del 12, data X della prova, quindi mi rivolgo ancora a voi Santi nel web.
Stavolta il problema in questione è il seguente:
Studiare al variare del parametro $ lambda $ il sistema $ { ( x+y-z=lambda ),( x+y=0 ),( z=0 ):} $ ed interpretare geometricamente i risultati come mutue intersezioni di tre piani.
Stavolta però almeno un tentativo lo vanto.
Ovviamente mi affido tantissimo a voi, che lo risolverete facile come un cruciverba di topolino.
Più di tutto, mi piacerebbe imparare la corretta sequenza di risoluzione.
Io sono partito con la scrittura della matrice $ A= ( ( 1 , 1 , -1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ e poi ho scritto la matrice
$ B=( ( 1 , 1 , -1 , lambda ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $
Il sistema è compatibile se e solo se $ r(A) = r(B) $
Quindi dopo devo calcolare il $ det(A) $ che, se è diverso da 0, mi dirà che $ r(A)=3 $ altrimenti dovrò calcolare il determinante delle sottomatrici.
Ovviamente non singolarmente ma con il metodo di Gauss.
Sbaglio?
Dopo come si prosegue?
Come si fa ad interpretare i risultati come mutue intersezioni?
Profondamente grato
Risposte
Ciao, consideriamo direttamente la matrice$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&-1&\lambda\\1&1&0&0\\0&0&1&0
\end{array}\right)
$$Il determinante dell'incompleta è $0$, quindi il suo rango non è $3$. Guardando ad esempio il minore$$
\left(
\begin{array}{cc}
1&-1\\1&0
\end{array}\right)
$$scopriamo che il rango dell'incompleta è $2$, quindi il sistema sarà risolvibile se e solo se il rango della completa sarà $2$. A questo punto possiamo ragionare così: prendiamo il suddetto minore e lo orliamo con elementi della matrice completa ottenendo il minore$$
\left(
\begin{array}{ccc}
1&-1&\lambda\\1&0&0\\0&1&0
\end{array}\right)
$$che dovrà avere determinante pari a zero. Se così non fosse il rango della completa sarebbe $3$, diverso da quello dell'incompleta.
Il determinante di questa matrice risulta essere $\lambda$ quindi concludiamo che il sistema ammette soluzione per $\lambda=0$ e che questa soluzione non è unica ma dipende da un parametro (nel nostro caso la $x$).
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&-1&\lambda\\1&1&0&0\\0&0&1&0
\end{array}\right)
$$Il determinante dell'incompleta è $0$, quindi il suo rango non è $3$. Guardando ad esempio il minore$$
\left(
\begin{array}{cc}
1&-1\\1&0
\end{array}\right)
$$scopriamo che il rango dell'incompleta è $2$, quindi il sistema sarà risolvibile se e solo se il rango della completa sarà $2$. A questo punto possiamo ragionare così: prendiamo il suddetto minore e lo orliamo con elementi della matrice completa ottenendo il minore$$
\left(
\begin{array}{ccc}
1&-1&\lambda\\1&0&0\\0&1&0
\end{array}\right)
$$che dovrà avere determinante pari a zero. Se così non fosse il rango della completa sarebbe $3$, diverso da quello dell'incompleta.
Il determinante di questa matrice risulta essere $\lambda$ quindi concludiamo che il sistema ammette soluzione per $\lambda=0$ e che questa soluzione non è unica ma dipende da un parametro (nel nostro caso la $x$).
Ciao minomic e grazie ancora. Se non chiedo troppo, potresti spiegarmi meglio il significato delle ultime due righe? Grazie 
Ci provo.
Tu hai il rango della incompleta che è $2$ e non ci puoi fare niente: è così ed è fisso poichè la matrice non contiene parametri. Per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema è risolvibile se e solo se il rango della completa è uguale a quello dell'incompleta cioè, nel nostro caso, $2$. Prendiamo il minore considerato, lo orliamo con elementi della completa e otteniamo la matrice $3 \times 3$ che ho scritto prima. Se questa matrice avesse determinante diverso da zero, essa sarebbe invertibile. Allora dalla matrice completa si potrebbe estrarre un minore $3 \times 3$ invertibile $\Rightarrow$ il suo rango sarebbe $3$, diverso da quello della incompleta. Noi non vogliamo che ciò accada $\Rightarrow$ imponiamo che la matrice non sia invertibile, cioè che il suo determinante sia pari a zero. In questo modo il rango della completa non sarà $3$ ma $2$, uguale a quello della incompleta.
Tu hai il rango della incompleta che è $2$ e non ci puoi fare niente: è così ed è fisso poichè la matrice non contiene parametri. Per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema è risolvibile se e solo se il rango della completa è uguale a quello dell'incompleta cioè, nel nostro caso, $2$. Prendiamo il minore considerato, lo orliamo con elementi della completa e otteniamo la matrice $3 \times 3$ che ho scritto prima. Se questa matrice avesse determinante diverso da zero, essa sarebbe invertibile. Allora dalla matrice completa si potrebbe estrarre un minore $3 \times 3$ invertibile $\Rightarrow$ il suo rango sarebbe $3$, diverso da quello della incompleta. Noi non vogliamo che ciò accada $\Rightarrow$ imponiamo che la matrice non sia invertibile, cioè che il suo determinante sia pari a zero. In questo modo il rango della completa non sarà $3$ ma $2$, uguale a quello della incompleta.
Minomic mi stai salvando... Ho fatto tutto il compito. Mi rimane solo un dubbio: le mutue intersezioni le hai dimenticate? No, perché io non saprei proprio nulla... Grazie infinite
Dunque... se $\lambda = 0$ la prima equazione non dice nulla in più delle altre (non è indipendente) e quel sistema rappresenta l'intersezione tra il piano $x=y$ e il piano $z=0$, cioè una retta (in particolare coincide con la bisettrice del primo e terzo quadrante). Se invece $\lambda != 0$ i tre piani non si intersecano tutti ma solo a due a due.
Tuttavia su quest'ultimo punto vorrei sentire il parere di qualcun altro...
Tuttavia su quest'ultimo punto vorrei sentire il parere di qualcun altro...
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