Studio compatibilità sistema lineare
Ciao a tutti,
Risolvendo l'esercizio riportato sotto, pur compiendo solamente passaggi leciti , ho come soluzione valori diversi da quelli riportati dal libro. Non mi pare di compiere azioni insensate, eseguo solo operazioni elementari come lo scambio di righe, la moltiplicazione di righe per uno scalare e la somma di equazioni membro a membro, insomma utilizzo solamente mosse lecite per ridurre a scala la matrice completa del sistema. Eppure i risultati che ottengo non combaciano con quelli del libro..vorrei sapere quali sono le operazioni insensate che ho compiuto...Vi riporto il testo dell'esercizio e la mia risoluzione...
Studia al variare di $ a in RR $ la compatibilità del seguente sistema :
(Riporto direttamente la matrice completa dei coefficienti)
[tex]\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & a & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
Annullo tutti gli elementi sotto l'incrocio tra la prima riga e la prima colonna :
[tex]\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 7 & 2 & 13 \\ 0 & 5+a & 1 & 17 \\ 0 & 2 & 0 & 8 \end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}[/tex]
Dopo aver scambiato la quarta riga con la terza, annullo tutti gli elementi sotto l'incrocio tra la 2 riga e la 2 colonna :
[tex]\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 7 & 2 & 13 \\ 0 & 0 & -4 & 30 \\ 0 & 0 & -3-2a & 54-13a \end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \\ 10-5a \end{pmatrix}[/tex]
Ora annullo gli elementi sotto l'incrocio tra la terza riga e la terza colonna :
[tex]\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 7 & 2 & 13 \\ 0 & 0 & -4 & 30 \\ 0 & 0 & 0 & -126+112a \end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \\ 7(1-a) \end{pmatrix}[/tex]
Dunque risulterebbe che tale sistema è compatibile (e contemporaneamente ha soluzione unica )per tutti gli [tex]a \neq {63 \over 56 }[/tex]
Eppure il libro riporta valori completamente diversi..i calcoli li ho controllati tante volte..
Risolvendo l'esercizio riportato sotto, pur compiendo solamente passaggi leciti , ho come soluzione valori diversi da quelli riportati dal libro. Non mi pare di compiere azioni insensate, eseguo solo operazioni elementari come lo scambio di righe, la moltiplicazione di righe per uno scalare e la somma di equazioni membro a membro, insomma utilizzo solamente mosse lecite per ridurre a scala la matrice completa del sistema. Eppure i risultati che ottengo non combaciano con quelli del libro..vorrei sapere quali sono le operazioni insensate che ho compiuto...Vi riporto il testo dell'esercizio e la mia risoluzione...
Studia al variare di $ a in RR $ la compatibilità del seguente sistema :
(Riporto direttamente la matrice completa dei coefficienti)
[tex]\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & a & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
Annullo tutti gli elementi sotto l'incrocio tra la prima riga e la prima colonna :
[tex]\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 7 & 2 & 13 \\ 0 & 5+a & 1 & 17 \\ 0 & 2 & 0 & 8 \end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}[/tex]
Dopo aver scambiato la quarta riga con la terza, annullo tutti gli elementi sotto l'incrocio tra la 2 riga e la 2 colonna :
[tex]\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 7 & 2 & 13 \\ 0 & 0 & -4 & 30 \\ 0 & 0 & -3-2a & 54-13a \end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \\ 10-5a \end{pmatrix}[/tex]
Ora annullo gli elementi sotto l'incrocio tra la terza riga e la terza colonna :
[tex]\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 7 & 2 & 13 \\ 0 & 0 & -4 & 30 \\ 0 & 0 & 0 & -126+112a \end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \\ 7(1-a) \end{pmatrix}[/tex]
Dunque risulterebbe che tale sistema è compatibile (e contemporaneamente ha soluzione unica )per tutti gli [tex]a \neq {63 \over 56 }[/tex]
Eppure il libro riporta valori completamente diversi..i calcoli li ho controllati tante volte..
Risposte
Devi controllare nell'ultimo passaggio l'elemento di posto (4,5)
Anzichè $7(1-a)$ deve restituire $-28(1-a)$.
Il sistema ammette un'unica soluzione se $a!=9/8$, poi discuterai il caso $a=9/8$
Nell'ultimo passaggio vedo che hai moltiplicato la $3^a$ riga per $3+2a$ e la $4^a$ riga per $-4$, si ottiene nell'ultima riga:
(0, 0, 0, -126+112a, -28+28a)
Anzichè $7(1-a)$ deve restituire $-28(1-a)$.
Il sistema ammette un'unica soluzione se $a!=9/8$, poi discuterai il caso $a=9/8$
Nell'ultimo passaggio vedo che hai moltiplicato la $3^a$ riga per $3+2a$ e la $4^a$ riga per $-4$, si ottiene nell'ultima riga:
(0, 0, 0, -126+112a, -28+28a)
"weblan":
Il sistema ammette un'unica soluzione se $a!=9/8$
si ok...pero nota che $9/8=63/56$
a me i risultati sembrano corretti:
$EE$ minore non nullo di ordine 3 ${r_1,r_2,r_4} nn {c_1,c_3,c_4}$ $->$ $3<=rank(A)<=4$
$det(A)=18-16a$ $->$ $rank(A)={(3,if a=9/8),(4,if a!=9/8):}$
invece $rank(A|B)=4$ $AAa in RR$
quindi per il teorema di rouche-capelli il sistema:
${(text{ammette una e una sola soluzione},if a!=9/8),(text{non ammette soluzioni},if a=9/8):}$
"byob12":
[quote="weblan"]Il sistema ammette un'unica soluzione se $a!=9/8$
si ok...pero nota che $9/8=63/56$[/quote]
Si va bene, però ti ho detto che hai commesso un errore di calcolo, non esageriamo una distrazione, sull'elemento di posto (4,5).
"weblan":
Devi controllare nell'ultimo passaggio l'elemento di posto (4,5)
Anzichè $7(1-a)$ deve restituire $-28(1-a)$.
Il sistema ammette un'unica soluzione se $a!=9/8$, poi discuterai il caso $a=9/8$
Nell'ultimo passaggio vedo che hai moltiplicato la $3^a$ riga per $3+2a$ e la $4^a$ riga per $-4$, si ottiene nell'ultima riga:
(0, 0, 0, -126+112a, -28+28a)
Guarda ti riporto i calcoli concernenti l'elemento (4,5) perchè gli ho appena rifatti e mi restituisce sempre $7(1-a)$..la terza riga l'ho moltiplicata per [tex](3+2a) \over -4[/tex] (in modo che l'elemento di posto (3,3) moltiplicato per tale valore e sommato con il sottostante restituisca $0$ nel posto (4,3) ) e, sommando membro a membro ,l'elemento di posto (4,5) viene ottenuto da :
[tex]4 \cdot {(3+2a) \over -4} + 10 - 5a = -3 -2a +10 -5a = +7-7a= 7(1 -a)[/tex]
D'altronde anche il tuo ragionamento per annullare l'elemento di posto (4,3) è corretto, ed effettivamente restituisce proprio $-28(1-a)$..Non mi pare che io abbia compiuto una svista riguardo l'elemento (4,5)..
byob12 mi dispiace ma il libro riporta altri risultati...se fosse la prima volta che succede non vi avrei mai disturbati, ma è l'ennesima volta che sono sicuro di aver fatto i calcoli giusti e il libro mi da altri valori, sto impazzendo...
"Pazzuzu":
byob12 mi dispiace ma il libro riporta altri risultati...
riporta i risultati qui allora.
Certo!
Il sistema è compatibile se è solo se $a \ne -12 $ ; in tal caso esso ammette un unica soluzione...
Il sistema è compatibile se è solo se $a \ne -12 $ ; in tal caso esso ammette un unica soluzione...
dato che il $det=18-16a$, l'unico valore da escludere è $a!=9/8$
quindi o c'è un errore nel testo che hai riportato o c'è un errore nel risultato del libro.
infatti per $a=-12$ la soluzione esiste ed è: $[[-26/105],[1/105],[6/7],[26/105]]$
quindi o c'è un errore nel testo che hai riportato o c'è un errore nel risultato del libro.
infatti per $a=-12$ la soluzione esiste ed è: $[[-26/105],[1/105],[6/7],[26/105]]$
Infatti avevo provato anche io..sarà il 4 o 5 esercizio di cui sono sicuro dei calcoli e di cui ritrovo puntualmente un'altra soluzione nel libro..Penso sia più che una semplice coincidenza..
poi c'è un altra cosa : se è giusto sia l'elemento di posto (4,5) scritto da me, $7(1-a)$ sia quello scritto da weblan $28(1-a)$ allora per uno stesso valore di a otteniamo soluzioni diverse, pur avendo due sistemi equivalenti..non dovrebbe avere senso, non capisco...
poi c'è un altra cosa : se è giusto sia l'elemento di posto (4,5) scritto da me, $7(1-a)$ sia quello scritto da weblan $28(1-a)$ allora per uno stesso valore di a otteniamo soluzioni diverse, pur avendo due sistemi equivalenti..non dovrebbe avere senso, non capisco...
Spero che la questione sia chiarita, purtroppo insisto nel dire che c'è u n errore di calcolo nll'ultima riga.
Se decidi di moltiplicare la terza riga per l'elemento$(3+2a)/-4$ e sommare con la quarta e sostituirla a quest'ultima si ottiene:
$(0,0,0,63/2-28a,7(1-a))$, se poi questa riga decidi di moltiplicarla per -4, ottieni:
$(0,0,0,112a-126,-28(1-a))$
che non certo equivale a quello che tu affermi:
$(0,0,0,112a-126,7(1-a))$
Se decidi di moltiplicare la terza riga per l'elemento$(3+2a)/-4$ e sommare con la quarta e sostituirla a quest'ultima si ottiene:
$(0,0,0,63/2-28a,7(1-a))$, se poi questa riga decidi di moltiplicarla per -4, ottieni:
$(0,0,0,112a-126,-28(1-a))$
che non certo equivale a quello che tu affermi:
$(0,0,0,112a-126,7(1-a))$
"weblan":
Spero che la questione sia chiarita, purtroppo insisto nel dire che c'è u n errore di calcolo nll'ultima riga.
Se decidi di moltiplicare la terza riga per l'elemento$(3+2a)/-4$ e sommare con la quarta e sostituirla a quest'ultima si ottiene:
$(0,0,0,63/2-28a,7(1-a))$, se poi questa riga decidi di moltiplicarla per -4, ottieni:
$(0,0,0,112a-126,-28(1-a))$
che non certo equivale a quello che tu affermi:
$(0,0,0,112a-126,7(1-a))$
weblan, hai ragione :
Ho ricontrollato i calcoli e mi sono accorto che quando scrivevo $126-112a$ dimenticavo che tale quantità era moltiplicata per $1/4$. Tutto torna, tranne i risultati del libro
Vi ringrazio moltissimo comunque...
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