Studiare la dipendenza o l'indipendenza lineare
Io ragazzi ho scritto la matrice dei vettori colonna $((1,2,0,0),(-3,-1,0,0),(7,-1,0,0))$ dove si può vedere che il rango è 2 e
non è massimo altrimenti sarebbe 3 se lo fosse, e quindi la soluzione non è unica. Siccome la soluzione banale c'è sempre, posso dire che i vettori sono dipendenti? Un esercizio fatto in questo modo è corretto?
Poi per completarlo cosa dovrei fare precisamente?
Grazie mille
Risposte
"smaug":
Io ragazzi ho scritto la matrice dei vettori colonna $((1,2,0,0),(-3,-1,0,0),(7,-1,0,0))$ dove si può vedere che il rango è 2 e
non è massimo altrimenti sarebbe 3 se lo fosse, e quindi la soluzione non è unica. Siccome la soluzione banale c'è sempre, posso dire che i vettori sono dipendenti? Un esercizio fatto in questo modo è corretto?
Poi per completarlo cosa dovrei fare precisamente?
Grazie mille
Dei vettori sono linearmente dipendenti se la somma delle loro combinazioni lineari è diversa da zero.
Pertanto è sufficiente verificare che:
\(a(v1)+b(v2)+c(v3)=0\)
generando così il sistema:
$\{(a+2b=0),(-3a-b =0),(7a - b = 0):}$
Si vede subito che i vettori sono dipendendi perché l'eguaglianza non è verificata (se non ho sbagliato i conti).
A questo punto ti basta trovare dei reali c, d tali che \(v1=cv2+dv3\). Risolvendo il sistema trovi i coefficienti. Usi lo stesso ragionamento per gli altri due casi ed è una passeggiate. Spero di esserti stato utile e di non aver detto cavolate
E' un esercizio abbastanza oscuro perchè l'insieme di vettori contiene il vettore nullo e quindi è lin. dipendente.
Un insieme di vettori è linearmente indipendente se l'unico modo per ottenere il vettore nullo è sommare i singoli vettori con coefficienti nulli. Cioè $a \vec {v_1}+b \vec {v_2}+c \vec {v_3} = 0 \iff a=b=c=0$. Ma qui $c$ può benissimo essere diverso da zero, perchè è già il vettore nullo.
Detto questo, non esiste una combinazione di due vettori per fare il terzo, anche se sono lin.dip., come invece richiesto dall'esercizio.
Un insieme di vettori è linearmente indipendente se l'unico modo per ottenere il vettore nullo è sommare i singoli vettori con coefficienti nulli. Cioè $a \vec {v_1}+b \vec {v_2}+c \vec {v_3} = 0 \iff a=b=c=0$. Ma qui $c$ può benissimo essere diverso da zero, perchè è già il vettore nullo.
Detto questo, non esiste una combinazione di due vettori per fare il terzo, anche se sono lin.dip., come invece richiesto dall'esercizio.
"Quinzio":
E' un esercizio abbastanza oscuro perchè l'insieme di vettori contiene il vettore nullo e quindi è lin. dipendente.
Un insieme di vettori è linearmente indipendente se l'unico modo per ottenere il vettore nullo è sommare i singoli vettori con coefficienti nulli. Cioè $a \vec {v_1}+b \vec {v_2}+c \vec {v_3} = 0 \iff a=b=c=0$. Ma qui $c$ può benissimo essere diverso da zero, perchè è già il vettore nullo.
Detto questo, non esiste una combinazione di due vettori per fare il terzo, anche se sono lin.dip., come invece richiesto dall'esercizio.
non ci avevo pensato, grazie mille
Non si può esprimere $[vec(v_1)]$, non si può esprimere $[vec(v_2)]$, ma si può esprimere $[vec(v_3)]$. Infatti:
$[vec(v_3)=0*vec(v_1)+0*vec(v_2)]$
Del resto, nel rispetto della definizione, la seguente combinazione lineare:
$[lambda_1vec(v_1)+lambda_2vec(v_2)+lambda_3vec(v_3)=0*vec(v_1)+0*vec(v_2)+t*vec(v_3)] ^^ [t!=0]$
rende il vettore nullo per valori non tutti nulli dei coefficienti. Per questo motivo, non era plausibile non poter esprimere almeno uno dei tre vettori in funzione degli altri due.
$[vec(v_3)=0*vec(v_1)+0*vec(v_2)]$
Del resto, nel rispetto della definizione, la seguente combinazione lineare:
$[lambda_1vec(v_1)+lambda_2vec(v_2)+lambda_3vec(v_3)=0*vec(v_1)+0*vec(v_2)+t*vec(v_3)] ^^ [t!=0]$
rende il vettore nullo per valori non tutti nulli dei coefficienti. Per questo motivo, non era plausibile non poter esprimere almeno uno dei tre vettori in funzione degli altri due.
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