Studiare la diagonalizzabilità di una matrice con parametro
Buonasera ragazzi,
premettendo che teoricamente e praticamente (con matrici senza parametro) so come si studia la diagonalizzabilità di una matrice. (Trovare gli autovalori, calcolarne la molteplicità geometrica e sommare le molteplicità geometriche dei vari autovalori che si è trovati).
La mia difficoltà sta nel trovare gli autovalori in una matrice parametrica (cioè risolvere l'equazione che viene fuori dal calcolo del determinante) potete darmi una mano?
Ecco a voi il testo:
$ | ( 2h-lambda , 2 , h ),( 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 1-lambda ) | $
Dove il parametro è $h$
Il suo determinante è uguale a: $(lambda+1-h)(lambda^2-lambda(2h+1)+2h)$
Come posso procedere?
premettendo che teoricamente e praticamente (con matrici senza parametro) so come si studia la diagonalizzabilità di una matrice. (Trovare gli autovalori, calcolarne la molteplicità geometrica e sommare le molteplicità geometriche dei vari autovalori che si è trovati).
La mia difficoltà sta nel trovare gli autovalori in una matrice parametrica (cioè risolvere l'equazione che viene fuori dal calcolo del determinante) potete darmi una mano?
Ecco a voi il testo:
$ | ( 2h-lambda , 2 , h ),( 0 , h-1-lambda , 0 ),( 0 , 1 , 1-lambda ) | $
Dove il parametro è $h$
Il suo determinante è uguale a: $(lambda+1-h)(lambda^2-lambda(2h+1)+2h)$
Come posso procedere?
Risposte
vedere post dopo
Ciao cooper,
si anche a me vengono così gli autovalori...e ora? Devo sostituire tutto questo per trovarmi gli autospazi e, successivamente, calcolarmi la molteplicità geometrica?
si anche a me vengono così gli autovalori...e ora? Devo sostituire tutto questo per trovarmi gli autospazi e, successivamente, calcolarmi la molteplicità geometrica?
eh.... 
purtroppo si. li tratti come numeri sostanzialmente. saranno milioni di conti ma sono quelli da fare.
purtroppo si. li tratti come numeri sostanzialmente. saranno milioni di conti ma sono quelli da fare.
Forse sbaglio io... ma a me gli autovalori vengono $h-1,\ 2h,\ 1$...
no che non sbagli. facendo i conti che prima non ho fatto, si scopre che l'utente che ha postato il messaggio ha sbagliato i conti. sviluppando lungo la prima colonna il determinante viene che il polinomio caratteristico è $ (2h-1-lambda)(h-1-lambda)(1-lambda)=0 $ le cui radici sono appunto $2h, h-1, 1$
adesso i conti non dovrebbero essere così brutti.
adesso i conti non dovrebbero essere così brutti.
Mea culpa ragazzi, ho sviluppato lungo la seconda riga mettendo in meno di troppo
Grazie mille ragazzi
Grazie mille ragazzi
figurati 
"cooper":
calcoli gli autovalori normalmente. verranno degli autovalori che dipendono da $h$. dovrebbero essere $h-1$ e qualcosa del tipo $ ((2h+1)+-sqrt(4h^2+1))/2 $
questi stando al tuo polinomio caratteristico (che non ho controllato) ed al netto di errori di conto (possibili perchè l'ho fatto a mente sul momento)
Sì, ok, il problema è che avete pure usato male la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado...
Eheheh vero
Sotto radice doveva venire così: $(1+4h+4h^2-8h)$ che, sviluppato, veniva un quadrato di binomio e quindi si poteva scrivere sotto forma di $(1-2h)^2$. Quindi, semplificando il quadrato con la radice e svolgendo tutti i calcoli, saltavano fuori i due autovalori $1$ e $2h$.
Piccolissimo errore di distrazione
P.s.: A mente fresca è tutto più limpido
Sotto radice doveva venire così: $(1+4h+4h^2-8h)$ che, sviluppato, veniva un quadrato di binomio e quindi si poteva scrivere sotto forma di $(1-2h)^2$. Quindi, semplificando il quadrato con la radice e svolgendo tutti i calcoli, saltavano fuori i due autovalori $1$ e $2h$.
Piccolissimo errore di distrazione
P.s.: A mente fresca è tutto più limpido
Mai fare matematica dopo una certa ora e dopo una certa quantità di alcool in corpo!
mi cospargo il capo di cenere! 
non me ne ero nemmeno accorto scusate per l'errore! adesso cancello il messaggio!
non me ne ero nemmeno accorto scusate per l'errore! adesso cancello il messaggio!
Il bello è che anche io avevo fatto il tuo stesso errore xD
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