Studiare il sistema lineare
salve, ho da studiare il seguente sistema
$\{(x+(h-1)y-hz=-k),(x-y+(1-h)z=-k),(x-y+z=1-h),(hy-z=0):}$
voglio sapere come si dovrebbe procedere. io ho ragionato in questo modo:
ho considerato la matrice completa associata e l'ho ridotta con Gauss fino ad ottenere
$((0,0,-h,-k-1+h),(0,0,-h,-k-1+h),(1,1-h,0,1-h),(0,h,-1,0))$. ci sono due righe uguali, dunque il determinante è nullo, ed inoltre posso dire che il rango è $<=3$; sono giuste queste deduzioni? per il teorema di Rouche-capelli il sistema ammette una soluzione se il rango della matrice completa e quello della matrice dei coefficienti sono uguali e uguali alla dimensione, nessuna soluzione se sono diversi, infinite soluzioni se sono uguali ma inferiori alla dimensione. ma come faccio a calcolare il rango al variare del parametro visto che il determinante è nullo?di solito ricavavo i valori dal parametro. ho pensato che i valori da studiare possano essere $h=0^^k=1$, li ho trovati un pò ad occhio:
per $h!=0^^k!=1$, il rango della matrice completa è 3, quello della matrice dei coefficienti è 3 ed è uguale alla sua dimensione che è 3, dunque il sistema ammette una sola soluzione;
per $h=0^^k=1$ il rango della matrice completa è 2, quello della matrice dei coefficienti è 2 ed è inferiore alla sua dimensione che è 3: ci sono infinite soluzioni, in particolare, essendo 3-2=1, ci sono $oo^1$ soluzioni.
$\{(x+(h-1)y-hz=-k),(x-y+(1-h)z=-k),(x-y+z=1-h),(hy-z=0):}$
voglio sapere come si dovrebbe procedere. io ho ragionato in questo modo:
ho considerato la matrice completa associata e l'ho ridotta con Gauss fino ad ottenere
$((0,0,-h,-k-1+h),(0,0,-h,-k-1+h),(1,1-h,0,1-h),(0,h,-1,0))$. ci sono due righe uguali, dunque il determinante è nullo, ed inoltre posso dire che il rango è $<=3$; sono giuste queste deduzioni? per il teorema di Rouche-capelli il sistema ammette una soluzione se il rango della matrice completa e quello della matrice dei coefficienti sono uguali e uguali alla dimensione, nessuna soluzione se sono diversi, infinite soluzioni se sono uguali ma inferiori alla dimensione. ma come faccio a calcolare il rango al variare del parametro visto che il determinante è nullo?di solito ricavavo i valori dal parametro. ho pensato che i valori da studiare possano essere $h=0^^k=1$, li ho trovati un pò ad occhio:
per $h!=0^^k!=1$, il rango della matrice completa è 3, quello della matrice dei coefficienti è 3 ed è uguale alla sua dimensione che è 3, dunque il sistema ammette una sola soluzione;
per $h=0^^k=1$ il rango della matrice completa è 2, quello della matrice dei coefficienti è 2 ed è inferiore alla sua dimensione che è 3: ci sono infinite soluzioni, in particolare, essendo 3-2=1, ci sono $oo^1$ soluzioni.
Risposte
io farei in modo diverso: mi trovo un minore il cui determinante non dipende dai parametri, poi procedo con gli orlati
"itpareid":
io farei in modo diverso: mi trovo un minore il cui determinante non dipende dai parametri, poi procedo con gli orlati
non sono molto ferrato con gli orlati, quindi per precauzione ho preferito procedere come ho detto. il problema è che non so se è corretto, e vorrei un parere sullo svolgimento intero ed eventuali correzioni!
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